» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
 » Все публикации автора

Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Октябрь, 2018 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №10 (19) 2018

Автор: Ведерников Сергей Иванович, нет
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления

Статья просмотрена: 14 раз
Дата публикации: 10.10.2018

УДК 512.1

ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ

Ведерников Сергей Иванович

пенсионер

г.Москва


Аннотация. Великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения на целочисленные множители в уравнении при n > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений.

Ключевые слова: великая, теорема, Ферма, метод деления.


Теорема: для целого натурального числа n > 2 уравнение += не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.

Доказательство.

Имеется , где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа. Z > X >Y - взаимно простые числа, n > 2.

Исходя из того, что уравнение является частным случаем уравнения и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать, что если уравнение при n > 2 не имеет целочисленных множителей для или , то оно не имеет решений в целых положительных числах.

Рассмотрим порядок выделения множителей числа и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки (5; 12; 13). [2]

Имеем:

Преобразуем выражение: . (1)

Разложим ф. (1) на множители: Z + X = ↔13 + 5 = 18; (2)

Z – X = ↔13 – 5 = 8. (3)

Сложим почленно ф. (2) и ф. (3):

2∙Z = ↔18 + 8 = 26; откуда Z == = 13. (4)

Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2): 2∙X = ↔18 – 8 = 10;

откуда: X = = = 5. (5)

Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае n = 2 уравнения возможно выделение целочисленных множителей и целочисленных значений X и Z.

Произведём разложение на множители в уравнении при n>2. Есть общий случай и три частных, как дополнение к общему. Посыл общий для всех случаев: чётное число, имеющее множителем , при n≥3, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X - нечётными числами, Y - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет. Доказательство невозможности чётного Z при нечётном n см. ниже Случай 3.

Рассмотрим «Общий случай» доказательства.

Имеем: + = . (1)

Возведём левую и правую части формулы в квадрат.

+ 2 + =

Преобразуем полученную формулу следующим образом:

= + 2 = (2)

Разложим ф. (2) на множители.

+ = + 2; (3)

= . (4)

(Следует заметить, что ф. (3) можно получить, прибавив 2 к левой и правой частям формулы (4)).

В соответствии с ф. ф. (4) и (5) (См. ниже Случай 1) множители и ( + 2) формулы (2) не могут иметь общих множителей, кроме одного числа 2, исходя из условия о взаимно простых X, Y, Z . Рассмотрим всё же этот момент отдельно.

Запишем ф. (3) и ф. (4) следующим образом:

=

Примем условно где целое нечётное число в степени n.

Итак: (5) (6)

Из почленного сложения ф. (5) и ф. (6) имеем:

2 или (7)

Из почленного вычитания ф. (6) из ф. (5) имеем:

2 (8)

Из ф. ф. (7) и (8) видно, что условия о взаимной простоте Z и X выполнимо только при отсутствии общих множителей в числах и

Поэтому множители этих чисел должны быть в степени n. (Или целое должно быть n – ой степенью дробного числа.)

Рассмотрим этот момент на примере разложения на множители пифагоровой тройки (5; 12; 13), где Z = 13, X = 5, Y = 12.

Как показано в Случае 1 (См. ниже после ф. ф. (2) и (3)) сумма и разность двух нечётных чисел, числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а другое – минимум , в общем же случае

Разложение формулы при чётном n выглядит так:

и =

Для разности квадратов пифагоровой тройки (5; 12; 13) разложение такое.

Имеется: (1а)

Преобразуем ф. (1а).

Разложим на множители ф. (2а).

Z + X = 2 13 + 5 = 18; (3a)

ZX =

Число 18 ф. (3а) содержит только одно число 2, а число 8 ф. (4а) имеет вид Следовательно, весь чётный сомножитель числа составляет Т. е. одно число 4 разделено пополам между числом 18 и числом 8.

Поделив 18 и 8 на 2, имеем и 4 =

Это значит, что вторыми множителями чисел 18 и 8, кроме числа 2, являются квадраты чисел. Причём это свойство всех пифагоровых троек.

Рассмотрим ф. (5) как аналог ф. (3).

; (3) (5)

Нами условно принято, что является n – ой степенью целого нечётного числа, в противном случае уравнение (1) не имеет решения в целых числах. На анализе ф. (3а) и ф. (4а) разложения пифагоровой тройки (5, 12, 13) можно заключить, что сомножитель правой части ф. (2) имеет в некоторых случаях, как и в уравнении , целочисленные значения Следовательно, можно предположить, что уравнение может иметь целочисленные решения.

Однако перемножим левые и правые части ф. ф. (5) и (6).

= 2 = 2(). (9)

Примем чётное, имеющее множителем , где n число как . А любое чётное число, имеющее множитель при n > 2 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Запишем ф. (9) следующим образом: = 2. (10)

Поскольку числа и являются квадратами чисел и , то в левой части имеется разность квадратов нечётных чисел, а в правой – результат, который должен раскладываться на целые множители в соответствии с левой частью.

Выразим число разностью квадратов чисел A и B.

= .

Формула (10) примет вид:

= 2() = (2 – 2).

Разложим на множители её левую и правую части.

( )( + ) (A - B)(. (11)

Как видно из ф. (11) целочисленные значения её левой части не соответствуют результатам разложения правой части, поскольку правую часть ф. (10) невозможно разложить на целочисленные множители. Отсюда следует, что уравнение + = не имеет решения в целых числах при целочисленном . (См. формулу (10).)

Снова рассмотрим формулу (9).

Предположим, что а тем самым и не являются целыми числами.

По аналогии со случаем можно бы заключить, что уравнение и тогда не имеет решений, но рассмотрим этот момент отдельно.

Запишем ф. (9) по- другому, приняв где k - целое, нечётное число.

(9a)

Поскольку можно выразить разностью квадратов, то запишем его как

Тогда ф. (9а) примет вид:

(9b)

Разложим правую часть ф.(9b) на множители. (9c)

Из ф. (9с) следует, что правую часть ф. (9а) невозможно разложить на целочисленные множители и при целом , и при иррациональном, поскольку k – нечётное число. Следовательно, уравнение и в этом случае не имеет целочисленных решений.

Рассмотрим ф. (9а) в следующей позиции.

Имеем: Выразим при n

В данном случае можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. Тогда разложение ф. (9а) будет соответствовать ф. (9b) и ф. (9с). Т. е. с отсутствием целочисленных решений.

При n = 2 ф. (9а) будет выглядеть так:

Выразим разностью квадратов нечётных чисел.

Тогда ф. (9а) будет такой: Следовательно, уравнение может иметь решения в целых числах.

Приведённое доказательство является приемлемым, для всех трёх частных случаев «Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления».

Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.

Случай 1. Z, X - нечётные, Y - чётное, n - чётное.

Имеется: .

Преобразуем исходное уравнение:

. (1)

Разложим на множители ф. (1). =. (2) (3)

Хотя абзац после ф.(5) разъясняет суть разложения на ф.(2) и ф. (3), поясним всё же этот момент. Сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое - множителем , а в общем случае . Разложение на множители при чётном n = 2k соответствует ф.(2) и ф.(3), но имеются два случая: когда имеет множитель 2, а множитель , и когда имеет множитель , а только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными в Случай 1. (См. ф. (6) и ф. (13)).

Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:

2∙=; =; (4)

а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:

2∙= ; =. (5)

Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел или имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем , поскольку - число чётное и имеет множителем минимум одно число . При этом и не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также и , что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.

Поэтому и должны состоять из различных множителей числа в той же степени, в степени n, если исходить из предположения, что исходное уравнение имеет целочисленные решения.

Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел или должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде: = 2; (6) = ; (7) имея в виду, что - число нечётное.

Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение и , подставив вместо значение 2∙, а вместо значение .

= =+ ; (8)

= =. (9)

Поскольку является степенью числа X при чётном n ≥ 4, то его можно разложить на множители.  Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности n–х степеней. = (-)∙( + ⋯ +). (10)

Очевидно, что невозможно разложить на целочисленные множители по формуле разности n - х степеней.

Рассмотрим ф. (6) и ф. (7), которые удовлетворяют разложению на множители разности квадратов двух чисел при чётном n > 3. = . – чётное. (6) - нечётное. (7)

Нужно заметить, что разложение на множители формулы , соответствующее «пифагоровым тройкам», где - чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только одно число 2, а другой множитель кратен числу 8, при этом чётное число этих троек кратно именно числу 4.

Рассмотрим разложение на множители ф. (7) при показателе n кратном 4 для иллюстрации «Общего случая доказательства».

Формула (7), на первый взгляд, тоже может удовлетворять условию кратности числу 8, однако преобразуем её правую часть. Преобразуем следующим образом:

= = .

Выразим разностью квадратов двух нечётных чисел, поскольку чётное число, имеющее множителем при n > 2 , можно хотя бы один раз представить такой разностью, где первый множитель разложения разности квадратов, имеет только один множитель 2, а второй – множитель .

Пусть: = .

Тогда: = = . (11)

Разложим ф. (11) на множители:

. (12)

= ( )( + ) ( - )(+ ), (12a)

Из ф .ф. (12) и (12а) можно сделать вывод, что ф. (7), а также уравнение при чётном n, кратном 4, не имеет решения в целых числах.

 Допустим: ; (13) . (14)

Очевидно, что ф. (14) не имеет целочисленных решений при n кратных 4, поскольку левая часть уравнения имеет множителем минимум , а правая только 2 при нечётном .

Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень иррациональное число. [3] Поэтому - число иррациональное, поскольку другим, меньшим , может быть только 1.

Следовательно, опираясь на ф. (10), ф. (16) и результаты разложения правых частей ф. (7) и ф.(13), можно заключить, что невозможно разложить на целочисленные множители, и уравнение при чётном n > 2 не имеет решения в целых положительных числах.

При этом особо нужно отметить, что для при нечётном = 2k+1, характерен следующий ряд показателей:   ; , где первый показатель - соответствует уравнению при = √= √1 = 1, что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей.

Случай 2. Z; X - нечётные, Y - чётное, n - нечётное. Имеем:

Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат. .

Преобразуем полученную формулу следующим образом:

. (1)

Разложим ф. (1) на множители.

; (2)

. (3)

- чётное число, поэтому выразим его как .

Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:

;

.

Примем в виде , при нечётном , поскольку целое положительное число можно выразить n - ой степенью другого положительного числа.

Итак, имеем:

+; (4)

. (5)

( См. Общий случай для ф.ф. (4) и (5).)

Сложим почленно ф. ф. (4) и (5).

Откуда:

, или

. (6)

Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).

.

. (7)

Из ф. ф. (6) и (7) видно, что и не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте Z,X,Y; а ф. (6) и ф. (7), т. е. и можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности n-х и суммы n-х степеней при нечётном n=2k+1.

Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).

; (8)

- (9)

Итак, нельзя разложить на целочисленные множители, а значит уравнение не имеет решений в целых положительных числах при нечётном n≥3.

Случай 3.

X>Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.

Кроме известного доказательства, что Z в уравнении не может быть чётным числом при чётном n, заключающемся в неравенстве суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая.

Имеется:

. (1)

Вычтем из левой и правой частей уравнения (1) 2∙.

; где

;

с нечётным = a.

Тогда:

= 2∙a. (2)

Поскольку n чётное по условию, то можно разложить, как разность квадратов. Пусть , а , поскольку X и Y нечётные числа.

Тогда:

  = 2∙b∙2∙c = 4∙b∙c. (3)

Сравним ф. (2) и ф. (3).

2∙a=4∙b∙c; или a≠2∙b∙c, т. к. a - нечётное число.

Итак: доказано, что Z в уравнении не может быть чётным числом при чётном n≥4 и целочисленных решениях уравнения.

Рассмотрим доказательство невозможности чётного Z при нечётном n.

X > Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.

Преобразуем уравнение , вычтя из левой и правой его частей 2∙.

Имеем:

. (4)

Отметим, что () - нечётное число.

Примем .

Тогда ф.(4) примет вид:

. (5)

Представим уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разности квадратов и :

( 2 . (6) (См. Общий случай.)

Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:

2∙.

Выразим . Тогда:

  = = ; (7)

;

   == = . (8)

Разложим ф. (7) по формуле разложения на множители суммы n – х степеней при нечётном n.

(9)

Разложим ф. (8) на множители по формуле размножения на множители разности n-х степеней, имея в виду, что нечётное число.

(10)

Из ф.ф. (9) и (10) следует, что разложение и на целочисленные множители невозможно, а значит Z не может быть чётным числом в уравнении (1), поскольку уравнение не имеет целочисленных решений.

Общий вывод: для рационального числа n≥3 уравнение не имеет решений в целых положительных числах X,Y,Z.



Список литературы:

  1. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦИМО, 2000 г.
  2. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959 г.
  3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебное пособие. М.: Высшая школа, 1984 г.


Комментарии:

Фамилия Имя Отчество:
Комментарий: