» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
 » Все публикации автора

Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Февраль, 2019 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №2 (23) 2019

Автор: Ведерников Сергей Иванович, нет
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Доказательство гипотезы Эндрю Била

Статья просмотрена: 21 раз
Дата публикации: 16.01.2019

УДК 512.1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ЭНДРЮ БИЛА

Ведерников Сергей Иванович

пенсионер, г. Москва


Аннотация. Методы доказательства Гипотезы Била, использованные в статье, заключаются в возможности показать базовое уравнение в виде равноценного ему, позволяющего представить значение выражения разностью квадратов двух нечётных чисел и использовать особенности её разложения на множители.

Ключевые слова: разность квадратов, общий делитель, разложение на множители.


Имеется: (1) A, B, C,x, y, z – целые, положительные числа, x, y, z >2 .

Доказать:A, B, C имеют общий простой делитель.

Доказательство.

Пусть C > A > B. Определимся с чётностью A, B, С.А именно: два из этих чисел должны быть нечётными, а одно чётным. (Случай одновременной чётностиA, B, C можно исключить из детального рассмотрения, поскольку эти числа заведомо имеют общий простой делитель – 2.) Примем A и C нечётными числами, а В чётным числом, поскольку принципиальной разницы между числами А и В нет. (О возможности чётного С будет обговорено ниже.)

Исходя из посыла, что любое чётное число, имеющее делителем при , можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел, произведём следующие преобразования.

Преобразуем ф. (1).

(2)

Прибавим к левой и правой частям ф. (2)

(3)

Выразим ф. (2) и ф. (3) следующим образом:

(3)

(4)

В формуле (4) число нечётное, которое можно обозначить как k, но для дальнейшего доказательства предположим, что поскольку число нельзя принять n – ой степенью целого числа при т. к. оно имеет только один множитель 2.

Запишем ф. (3) и ф. (4) следующим образом:

(5)

(6)

Примем для простоты а

Тогда ф. (5) и ф. (6) примут вид:

(7)

(8)

Перемножим левые и правые части ф. (7) и ф. (8).

(9)

Формула (9) не что иное, как выражение чётного числа разностью квадратов двух нечётных чисел.

Известно, что сумма и разность двух нечётных чисел, числа чётные, но одно из них имеет делителем только одно число 2, а второе – минимум

Вариантов разложения чётного числа в степени на сумму и разность двух нечётных чисел может быть столько, сколько возможно сочетаний пар множителей, составляющих это число, но для каждой пары множителей возможен только один случай. В рассматриваемом моменте важна одна особенность такого разложения, заключающаяся в том, что его нужно разделить на два способа.

1– ый способ: множители разложения кроме числа 2 имеют ещё один или несколько простых делителей.

2 – ой способ: множители разложения не имеют общего делителя, кроме числа 2.

Выполним действия аналогичные рассмотренным автором в Случае 2 «Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления» ф.(6) и ф.(7). [1]

Сложим почленно левые и правые части ф. (7) и ф. (8).

(10)

Вычтем почленно ф. (7) из ф. (8).

(11)

Рассмотрим 1-ый способ.

Из ф. (10) и ф. (11) видно, что если и имеют общий нечётный делитель, поскольку нечётное число, то этот делитель имеют числа и .

Проиллюстрируем это на примере разложения на множители числа . Примем В данном случае условие для разложения чётного числа на множители по формуле разности квадратов двух нечётных чисел соблюдено, и первый множитель имеет сомножителем только одно число 2. Кроме того оба множителя имеют общий делитель 3.

Сложим оба множителя: 6 + 36 = 42.Найдём средне арифметическое: 42: 2 = 21. Это первое нечётное число. Вычтем из него второй множитель: 21 – 6 = 15. Это второе нечётное число. Имеем: , где все числа выражения имеют общий простой делитель 3.

Следовательно, предположение о том, что числа A, B, C могут иметь общий делитель, обосновано.

Рассмотрим 2 - й способ, когда множители разложения не имеют общего делителя кроме числа 2.

Из ф. (10) и ф. (11) видно, что при отсутствии общего делителя в числах и , общего делителя не будет и у чисел A, B, C, что соответствует условию о взаимно простых числахX, Y, Zв «Полном доказательстве Великой теоремы Ферма методом деления».

Обратимся к числу , имеющем два степенных сомножителя. Выразим Условия для выражения числа разностью квадратов двух нечётных чисел соблюдены: и (Нужно пояснить значение . В ф. (10) и ф. (11) она выражена как .)

Сложим множители 54 и 4. 54 + 4 = 58.

Найдём средне арифметическое. 58 : 2 = 29 – это первое нечётное число.

Вычтем из него второй множитель. 29 – 4 = 25 – это второе нечётное число.

Имеем: .

Здесь члены выражения не имеют общего делителя, а число , множитель числа, поделено на 2 и 4. Подобным образом происходит разложение на множители любой пифагоровой тройки. [2] (См. «Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления» Общий случай. Формулы (3а) и (4а).) [1]Отсюда можно сделать вывод о том, что это общее правило разложения на множители по формуле разности квадратов двух нечётных чисел любого чётного числа в степени n приn > 2, если множители разложения не имеют общего делителя, т. е. должны быть в степени n, кроме чисел 2 и (См. Случай 2, формулы (6) и (7), «Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления».) [1]

Ранее было предположено, что что согласуется с верхним абзацем. Рассмотрим ф. (9) . Примем . Имеем:

(12)

Очевидно, что разложение числа на множители по формуле разности квадратов нечётных чисел не соответствует выше рассмотренному условию, зато этому условию соответствует разложение на множители числа Поэтому выразим разностью квадратов чисел и Тогда ф. (12) будет такой:

(13)

Разложим на множители левую и правую части ф. (13).

(14)

Формула (14) показывает, что при равенстве в ф.(4), уравнение (9) не имеет решения в целых числах.

Рассмотрим снова уравнение (9): Предположим, что число не является целым числом в степени y. Примем Тогда ф. (9) примет вид:

(15)

Примем Запишем ф. (15) так:

(16)

Разложим левую и правую части уравнения (16) на множители.

(17)

Из ф. (17) следует, что уравнение (16) невозможно разложить на целочисленные множители, поскольку - иррационален, а - есть корень из нечётного числа.

Кроме того, из ф. (10) и ф. (11), следует, что и , а следовательно, и невозможно разложить на целочисленные множители, поскольку невозможно разложить правую часть ф. (11) на целочисленные множители по формуле разложения на множители разности n – х степеней, а правую часть ф. (10) - на целочисленные множители по формуле разложения на множители суммы n – х степеней при [3] (См. Случай 2 « Полного доказательства… » ф. (6) и ф. (7), а также ф. (8) и ф. (9).) [1]

Вывод: при отсутствии общих множителей в числах A, B, C уравнение не имеет решения в целых числах.

Поскольку уравнение при n > 2, является частным случаем уравнения (1), то этот вывод относится и к теореме Ферма.

Нами рассмотрен случай, когда число B ф. (1) - чётное. Предположим, что чётным является число C, а числа A и B - нечётные.

Преобразуем ф. (1), вычтя из левой и правой её частей Имеем:

(18)

Перемножим левые и правые части ф. (1) и ф. (18). Имеем:

(19)

Доказательство, следующее за ф. (19), аналогично выше рассмотренному.

Следовательно, утверждение, что целые положительные числа A, B, С, при целых положительных x, y, z > 2, имеют общий простой делитель в уравнении доказано, а значит Теорема (гипотеза) Била доказана.



Список литературы:

  1. Ведерников С. И. Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления. Журнал «Наука через призму времени». №10(19) 2018. Международный научный журнал.
  2. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959.
  3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990.


Комментарии:

Фамилия Имя Отчество:
Комментарий: