» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
 » Все публикации автора

Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Апрель, 2022 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №4 (61) 2022

Автор: Пинигина Анастасия Валерьевна, Студент
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Методические особенности графического метода решения семейства кривых с параметром в ЕГЭ

Статья просмотрена: 259 раз
Дата публикации: 11.04.2022

УДК 517.518.837

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ С ПАРАМЕТРОМ В ЕГЭ

Пинигина Анастасия Валерьевна

студентка 5 курса факультета математики,

информатики и естественных наук

Павлова Татьяна Вениаминовна

научный руководитель

Ишимский педагогический институт имени П.П. Ершова (филиал) ФГБОУ ВО «Тюменский государственный университет», г. Ишим

 

Аннотация. В статье описан графический метод решения задач с параметрами на основе типовых примеров из ЕГЭ. Методика решения семейства кривых основывается на функционально-графическом методе. Рассматриваются разборы решений с параметром с применением элементарных преобразований графиков функций.

Ключевые слова: задачи с параметрами, функционально-графический метод, преобразование графиков, построение графиков, семейство кривых.

 

Решение уравнений, неравенств и их систем с параметрами считается одной из сложнейших тем математики. В основном эта проблема связана с тем, что в школах стандартные уравнения и неравенства приучают решать, следуя соответствующему алгоритму. Задачи с параметром имеют свой подход, здесь необходимо использовать элементы исследования. Графический метод решения уравнений, неравенств и их систем с параметрами более нагляден, по сравнению с аналитическим, но требует определенных умений: необходимо владеть набором элементарных преобразований графиков функций (сжатие или растяжение, симметрия относительно осей, сдвиги вдоль координатных осей, графики с модулем и т.п.); выполнять необходимые дополнительные построения, исследовать поведение семейства кривых в зависимости от значения параметра. Задачи с параметром традиционно включают в ЕГЭ по математике профильного уровня (задание 18) и относятся к заданиям максимально высокого уровня сложности [1].

Рассмотрим далее некоторые графические приемы решений задач с параметрами. В зависимости от роли параметра, выделяют два основных графических приема:

1) построение графического образа на координатной плоскости (x;y);

2) построение на координатной плоскости (x;a) [4, с. 97-99].

Далее для полного понимания приведем следующее понятие:

«Совокупность всех кривых, определяемых уравнением Ф(x,y,C)=0 (1), называют семейством кривых с одним параметром – однопараметрическое семейство, а уравнение (1) уравнением этого семейства кривых…» [5, с. 103].

Разберем первый прием. Исходное выражение преобразуют к виду (1). На плоскости (x;y) строим график функции . А функция  задает конкретное семейство кривых, которое зависит от параметра a. Кривые данного семейства получают из кривой (**) с помощью набора элементарных преобразований, которые описаны выше. Когда будет построен графический образ (1), то возможно установить, сколько точек пересечения имеют графики функций (*) и (**). Данное утверждение определяет количество корней выражения (1), а также исходного выражения, в зависимости от значения параметра.

Разбирая второй прием, исходное выражение преобразуют к виду . На плоскости (x;a) строят график функции f(x) и потом пересекают данное построение прямыми, которое будут параллельны оси абсцисс. Таким образом, получают нужную информацию [7, с. 55-56].

Далее рассмотрим, с помощью каких преобразований плоскости можно использовать для перехода к другим кривым семейства.

Перейдем непосредственно для начала к части решений уравнений и неравенств с параметрами для линейных функций. Заметим, что: «… уравнение первой степени общего вида с переменной x является частным случаем линейного уравнения с одной переменной…» [2, с. 16].

1. Параллельный перенос

Пример 1.

Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства .

Решение:

Перенесем единицу в правую часть неравенства:

.

После этого построим схемы графиков функций:

Можем заметить, что данные функции являются прямыми, но с модулями. Другими словами, отрицательная часть изображается симметрично относительно оси ординат как показано на рисунке 1. Но перед этим преобразованием предшествует, сдвиги вправо на несколько единиц и втрое уравнение сдвигается вниз на единицу.

Рис.1

Из рисунка видно, что неравенство имеет решения только . Составим две системы неравенств:

1)

Тогда решения образуют отрезок то a=3.

2)

Тогда решения образуют отрезок то a=9.

Ответ: a=3; a=9.

2. Поворот

Стоит заметить, что выбор семейства кривых не является однотипным. Но сами задачи наоборот. Во всех задачах присутствуют прямые (**) и к тому же играют роль центра поворота. Остановимся на семействе кривых вида

, где (x0; y0) – центр поворота [6].

Пример 2. Определите, при каких значениях параметра a минимум функции  больше -4.

Решение:

Определим, при каких значениях переменной x параметра a неравенство  выполнятся при всех x. На рисунке 2 изображен график функции . Итак, все прямые семейства  проходят через точку (0;-4). Т.е. данная точка задает центр поворота данных прямых. По определению прямой положим, что k=-a, тогда правая часть неравенства будет выглядеть: -4+kx.

Обратимся снова к рисунку 2 и видим, что в левой части неравенства изображена парабола, с отраженной частью, так как выражение стоит под знаком модуля. А в правой части неравенства будет прямая с угловым коэффициентом.

Рис.2

Меньшее значение параметра будет соответствовать касанию прямой с пересечением параболы с осью ординат (). Тогда будем иметь значение параметра a=-8.

Найдем точки касания данных функций. Так как правые части уравнений равны, то будут равны и левые: -4+kx=2x2-3x+1. После чего преобразуем данное выражение и вычислим дискриминант:

2x2-(k+3)x+5 = 0

D = (-(k+3))2 + 4*2*5 = k2+6k-40

Найдем значения k полученного выражения: k2+6k-40=0.

D = 62 - 4*1*(-40) = 36 + 160 = 196

k1 = 4; k2 = 10

4 < k < 10 => -10 < a < -4

Ответ: -10 < a < -4.

3. Гомотетия. Сжатие к прямой

Вспомним, что при гомотетии расстояние между точками не сохраняется, то есть подобные фигуры имеют равные углы. Таким образом, далее мы рассмотрим семейство кривых, которые будут получаться друг из друга с помощью гомотетии. Примером гомотетии может являться уравнение окружности, т.е.  [6].

Пример 3. Изобразите графики уравнений

 и  при значениях параметра a = 1;2,5;3.

Решение:

Для начала построим график уравнения . Очевидно, что значение параметра не должно быть отрицательно и данное уравнение задает квадрат. Иначе данное выражение не будет иметь смысла. Изобразим на графике данное выражение (Рис. 3):

Графиком второго уравнения  будет являться окружность. Радиус данной фигуры будет являться параметр a с центром в точке (0;0).

Данные уравнения задают два семейства кривых. Каждый из них являются гомотетичными с центром начала координат. Из рисунков видно, что данные графики уравнений увеличиваются при значениях параметра a для квадратов и окружностей.

Рис.3

Стоит учесть, что при решении графическим методом лучше всего подкрепить свой ответ аналитическим способом. Это не только зафиксирует правоту выбранного решения, но и даст дополнительные баллы на экзамене. Таким образом, это докажет, что ученик в полной мере может разумно обосновать свои мысли.

Выделим следующие плюсы графического представления уравнения или системы уравнений с параметром:

  1. Построенный график дает определить, как влияет изменение параметра на решение уравнения;
  2. В некоторых случаях график позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
  3. На основании графика возможно строить вполне строгие и обоснованные умозаключения о количестве корней уравнения и т.д.

Добавим, что для решения задач с параметрами выделяют мало часов на занятиях алгебры. Поэтому необходимо вводить элективные курсы или давать больше времени на факультативных занятиях, применяя функционально-графический метод при решении задач с параметрами для качественной подготовки учащихся. Таким образом, дети будут иметь навыки по построению, преобразованию графиков уравнений для решения задач с параметрами, которые раньше казались им нерешаемыми.



Список литературы:

  1. Алексеевская А.А. Функционально-графический метод решения уравнений с параметрами в итоговой аттестации // Актуальные проблемы модернизации математического и естественно-научного образования: Сборник научных трудов по материалам Всероссийской научно-методической конференции (г. Балашов, 15 мая 2020 г.). – Саратов : Саратовский источник, 2020. – С. 19-23.
  2. Беляева Э.С. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч. 1: учебное пособие. – Москва: Дрофа, 2009. – 480 с.
  3. Беляева Э.С. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч. 2: учебное пособие. – Москва: Дрофа, 2009. – 444 с.
  4. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – Москва: Илекса, 2005. – 328 с.
  5. Литвинов А.И. Методическое пособие к практическим занятиям. – Москва: МТУ, 2013. – 103 с.
  6. Погорелов А.В. Геометрия 7-9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. – Москва: Просвещение, 2014. – 240 с.
  7. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. – Москва : МИЭТ, 2004. – 258 с.


Комментарии:

Фамилия Имя Отчество:
Комментарий: