» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
» Все публикации автора
Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»
Июнь, 2022 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №6 (63) 2022
Автор: Макеев Николай Николаевич, Доктор физико-математических наук, профессорессор
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Движение кинетически симметричного гиростата с линейной диссипацией
Дата публикации: 10.06.2022
УДК 531.381, 517.933
ДВИЖЕНИЕ
КИНЕТИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА
С ЛИНЕЙНОЙ
ДИССИПАЦИЕЙ
Макеев Николай Николаевич
пенсионер
Саратовская область, г. Саратов
Аннотация. Приёмами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений дана интерпретация движения гиростата в сплошной однородной среде с сопротивлением. Гиростат движется так, что его основное тело (основа) вращается вокруг неподвижного полюса, совмещённого с центром масс. В пространстве состояний построен фазовый портрет движения, отражающий динамические свойства и основные особенности динамики гиростата. Установлена маятниковая аналогия движения гиростата при линейной диссипации.
Ключевые слова: гиростат; динамическая система; линейная диссипация; фазовая траектория.
Введение
Исследования по динамике автономных гиростатических систем к настоящему времени не содержат достаточного общего анализа их фазовых характеристик, описываемых приёмами и методами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Цель настоящей статьи − уточнить и расширить интерпретацию динамики автономного гиростата в линейно-диссипативной среде. Приведённое в статье описание топологической структуры областей движения, поля фазовых траекторий и типа бифуркаций уточняет картину движения гиростата, делая её детальной и более наглядной.
1. Уравнения
движения
Гиростат с постоянным результирующим гиростатическим моментом k движется вне воздействия внешних активных сил вокруг неподвижного полюса О (центра масс) в линейно-диссипативной сплошной среде с заданными физическими характеристиками.
Введём координатный ортобазис
оси которого 
направлены по главным
в полюсе О направлениям тензора инерции гиростата.
Обозначим: 
− угловая
скорость основы гиростата; 
−
гиростатический момент;
(1)
− результирующий момент диссипативных сил
относительно полюса О; 
постоянные заданные коэффициенты диссипации (числовые физические
характеристики среды); T −
символ транспонирования матрицы.
Уравнение движения гиростата с учётом предпосылок и равенства (1) имеет вид [1, с. 82]
(2)
где 
− матрица
тензора инерции гиростата, 
− собственные
значения оператора инерции гиростата.
Обозначим: 
(3)
(4)
где (1, 2, 3) − символ циклической перестановки индексов 1, 2, 3, а элементы bij матрицы B определяются равенствами
(5)
В равенстве (5) M −
коммутатор дифференцирований (скобка Пуассона [2, c.178]), выраженный в осях
координатного базиса 
Представим уравнение (2) с учётом выражений (3)−(5) в виде
(6)
Уравнение (6) в проекциях на координатные оси базиса 
эквивалентно системе
уравнений
(7)
где 
− вектор-строки матрицы B:
2. Топология
движения гиростата в фазовом пространстве
Рассмотрим случай движения гиростата, при котором
(8)
Последняя группа условий (8) определяет центральную кинетическую симметрию гиростата с центром в полюсе О. В силу данных ограничений имеем
и система уравнений (7) принимает вид
(9)
(10)
Здесь и всюду далее символ 
обозначает
совокупность величин 
Состояние равновесия системы (9), (10) в фазовом пространстве определяется знаком параметра ∆, который, согласно критерию [3, c. 468], равен
Динамическая система (9), (10) имеет грубое (по А.А. Андронову [4]) состояние равновесия с особыми точками: седло, существующее при ∆ > 0, или седло-фокус, образующееся при ∆ < 0.
У этих особенностей имеется двумерная сепаратрисная поверхность S и две изолированные сепаратрисы, расположенные по обе стороны от поверхности S. На поверхности S седла находится узел, тогда как поверхность S седла-фокуса содержит фокус. Остальные фазовые траектории системы (9), (10) пересекают достаточно малую окрестность седла и седла-фокуса как при возрастании, так и при убывании параметра − времени t [3].
Этот фазовый портрет трёхмерного поля траекторий является характерным для движения гиростата в диссипативной среде при малых и средних скоростях, когда диссипация определённо обладает линейными физическими свойствами.
3. Топология
движения гиростата в фазовой плоскости
Пусть выполняются условия t = 
≥ t0 ≥ 0 и 
, причём, согласно уравнению (10), имеем
(11)
Рассмотрим топологическую структуру системы уравнений
(9), (10) в фиксированной плоскости 
фазового пространства
согласно равенству (11). Фазовый портрет этой системы известен [3, 4].
Обозначим
введём функции нелинейных возмущений 
воздействующих на
линейную систему (9), и рассмотрим обобщённый случай, при котором задана
система уравнений возмущённого движения вида
(12)
где 
− постоянные
неопределённые множители.
Зададим для функций 
условия: пусть 
кроме того, для заданного
числа a > 0 и функции 
существует предел при W → 0 [5]
(13)
где обозначено
В равенстве (13) все частные производные − функции класса C0, определённые в окрестности начала координат − точки U = (ω1 = ω2 = 0).
Если выполняется первое из условий
(14)
то точка U фазовой
плоскости 
является узлом. Пусть 
и разностные отношения
функций F1, F2
в двух точках плоскости V ограничены.
Тогда, согласно второму условию (14), через каждую точку в окрестности
положения U проходит
единственная фазовая траектория, соответствующая единственному определённому
режиму движения гиростата.
В случае, при котором 
или если H = 0 и, согласно [5], условие
(15)
выполняется для всех точек плоскости V, отличных от точки U, эта точка − фокус. Если условие (15) не выполняется, то точка U есть центр или центр-фокус.
Рассмотрим топологическую структуру плоскости V динамической системы (12) при условиях
(16)
где 
− заданное
число. Положим 
и выберем
(17)
где 
Согласно равенству
(17), представим систему уравнений (12) при условиях (16) в виде
(18)
Здесь 
− заданная
постоянная, F −
приведённая функция возмущения.
Пусть F есть 2π-периодическая монотонная функция, качественно идентичная гироскопической функции Лагранжа [2, c. 131], такая, что
(19)
Как известно [4], в этом случае при
пространство
параметров 
является грубым относительно класса характеристик приведённой функции F.
Рассматривая систему уравнений (18) на фазовом
цилиндре 
устанавливаем, что два состояния равновесия этой
системы находятся на его оси 
и являются фокусом и
седлом. При этом в силу условия λ > 0 фокус является устойчивым, а при 
особые точки сливаются
в одну точку − седло-узел.
Согласно
критерию Дюлака [6] для системы уравнений (18) не
существует предельных циклов, охватывающих положение равновесия. Кроме этого,
не существуют и бифуркации, обусловленные возникновением предельного цикла.
Ограничение (19) показывает, что бифуркация,
порождённая петлёй сепаратрисы, имеет место на
фазовом цилиндре 
только при 
[3]. Здесь все фазовые
траектории идут из бесконечности к устойчивому предельному циклу, находящемуся
в полосе 
фазового цилиндра 
Пусть теперь 
Тогда на
фазовом цилиндре имеются особые точки: 
(центр) и 
(седло), где 
− действительные
корни уравнения 
Тогда уравнение сепаратрис, проходящих через седло, имеет вид
(20)
Уравнение Z = 0 имеет двойной
корень 
и единственный простой
корень 
Тогда сепаратриса с уравнением (20) образует петлю, охватывающую
положение равновесия 
Сепаратриса
седла на этом полуцилиндре уходит в бесконечность и при существует устойчивый
предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр Согласно критерию Дюлака [3] этот предельный цикл для данной динамической
системы является единственным.
Заключение
Согласно фазовому портрету динамической системы гиростата на фазовой плоскости имеются как замкнутые области периодических движений, так и области с неограниченными траекториями. Граница между этими областями − сепаратриса, связывающая седловые положения равновесия системы с узлами (фокусами) и предельными циклами.
Выделяя в динамической системе (18) колебательно-вращательное звено с координатой z1, получаем уравнение обобщённого гипотетического маятника
(21)
с характеристикой, представленной в правой части уравнения (21).
Динамическая система (18) или (21) является двухпараметрической системой эволюционного типа, характеризующей движение механических систем маятникового вида в окрестности седловых точек фазовой плоскости. Этим определяется маятниковая аналогия движения гиростата между его движением вокруг неподвижного полюса (центра масс гиростата) и движением обобщённого гипотетического маятника, закреплённого в фиксированной неподвижной точке.
Данные системы уравнений моделируют движения гиростата, несущего упругие пружинные элементы большой жёсткости, которые применяются в таких механических приборах, как астатический маятник и виброграф Гейгера [7].
Список литературы:
- Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. М.: Мир, 1980. 294 с.
- Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.
- Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 486 с.
- Андронов А.А. и др. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959. 916 с.
- Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 478 с.
- Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 448 с.
- Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276 с.
Комментарии:
