» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
 » Все публикации автора

Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Март, 2018 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №3 (12) 2018

Автор: Лубянко Андрей Анатольевич
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Формула силы, возникающей на шаре, вращающемся в потоке

Статья просмотрена: 584 раз
Дата публикации: 12.03.2018


ФОРМУЛА СИЛЫ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ НА ШАРЕ,

ВРАЩАЮЩЕМСЯ В ПОТОКЕ

Лубянко Андрей Анатольевич


Аннотация. В статье дан вывод расчётной формулы силы, возникающей на теле, вращающемся в набегающем потоке. Рассмотрены ошибки, сделанные сто лет назад Людвигом Прандтлем; притяжение ли держит нас на поверхности планеты; вакуум – пустота или нет.

Ключевые слова: шар, цилиндр, вращение, Стандартная Модель, крыло.


На теле, вращающемся в потоке среды, обязательно возникает сила, уводящая тело поперёк направления набегающего потока. Явление было обнаружено, когда немецкие артиллеристы обратились за разъяснениями «Почему ядра даже в безветренную погоду имеют обыкновение непредсказуемо отклоняться вправо или влево от плоскости стрельбы?» к профессору Берлинского Университета Густаву Магнусу. Профессор задумался, начал экспериментировать, и в 1852 году вышла его книга, где явление было объяснено. Артиллеристам были выданы ценные указания, и гладкоствольная немецкая артиллерия повысила точность стрельбы, успешно конкурируя с более современной – нарезной. Но формул для расчёта в книге не появилось не только для шара в потоке, но и для цилиндра, на котором экспериментировал профессор.

Если понадобится найти формулу для расчёта боковой силы на теле, вращающемся в потоке, найдёте в литературе весьма немного и однобоко: только формулу для цилиндра, вращающегося в потоке, выведенную Николаем Егоровичем Жуковским. А также найдёте рассказ, как теоретически пытался решить вопрос лорд Рэлей ( Джон Уильям Стретт, третий барон Рэйли). Решил, но для бесконечно длинного цилиндра; решение, не имеющее практического применения. Найдёте, как попытался трактовать открытие вместо автора – Густава Магнуса другой выдающийся немецкий учёный – Людвиг Прандтль. Но, увы, Л. Прандтль сделал случайную ошибку в своём видении теории (ниже будет и рассказ, и показ ошибки и что будет, если её не сделать), и его теория не сошлась с практикой, что сильно задержало развитие аэродинамики.

Николая Егоровича Жуковского интересовала возможность вычислить подъёмную силу на крыле воздушного змея, на крыле аэроплана. Для этого он использовал идею вращающегося в потоке цилиндра конечной длины. В результате – началось развитие авиации.

Вращающийся в потоке шар Н.Е. Жуковского не интересовал, и ни общая для тел вращения формула, ни формула для частного случая “шара” так и не была выведена до начала работ автора статьи. А, в общем-то, жаль.

Шар – не настолько теперь бесполезное тело. И даже не в том дело, что ядрами теперь не стреляют. На вращающемся и движущемся ШАРЕ находимся мы с вами, уважаемый читатель. И этот ШАР имеет все признаки вращения вокруг оси и движения вбок (по орбите), хотя очевидно, что наш шар подчиняется и “натиску” Ньютона – подчиняется Закону гравитации.

Сам Исаак Ньютон вовсе не определял причину действия гравитации словом “притяжение”, что следует из его пояснения к определению V в PHILOSOPHIÆ NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA. Для простоты восприятия повторю здесь слова Ньютона: “Название же «притяжение» (центром), «натиск» или «стремление» (к центру) я употребляю безразлично одно вместо другого, рассматривая эти силы не физически, а математически, поэтому читатель должен озаботиться, чтобы ввиду таких названий, не думать, что я ими хочу определить самый характер действия или физические причины происхождения этих сил, или даже приписывать центрам (которые суть математические точки) действительно и физические силы, хотя я и буду говорить о силах центров и о притяжении центрами” [1].

И среда, в которой движется шар (планета), тоже есть. Современные физики-теоретики, разрабатывая свою “Стандартную Модель электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий кварков и лептонов”, давно уже не придерживаются мнения, что вакуум – есть пустота. Словами “лептонный газ” заменили незаслуженно опороченное Альбертом Абрахамом Майкельсоном понятие “эфир” (natural-principles.ru, глава “Голый король”). Стало стыдно употреблять слово эфир, но без наличия среды, в которой живёт мир небесных тел – невозможно обойтись, и придумали словосочетание-заменитель “лептонный газ”.

Стандартная Модель” – и есть разработка и проверка в экспериментах свойств среды, половину прошлого века считавшейся ПУСТОТОЙ из-за “необычности” свойств этой среды.

В доказательство своих слов, и чтобы не возвращаться к этой теме в этой статье, приведу цитату московских физиков из ещё не устаревшей книги 2001 года: “Наиболее интригующим следствием этих исследований является вывод о том, что физический вакуум представляет собой не пустоту с некоторыми фиксированными неизменными свойствами, а сложную, целостную иерархическую систему, способную к динамической эволюции. Проведённые к настоящему времени исследования физической природы вакуумных подсистем показывают, что само их существование и внутренняя структура обусловлены спонтанными деформациями геометрических характеристик искривлённого и расслоённого пространства-времени. Фундаментальная физическая теория, Стандартная Модель электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий кварков и лептонов, воплощающая новейшие представления о вакууме и элементарных частицах в строгой математической форме, является общепризнанным достижением естествознания ХХ века. Впервые в истории науки мы имеем теорию, объясняющую все известные экспериментальные факты в физике микромира, полученные на ускорителях элементарных частиц. Парадокс, однако, состоит в том, что внутренняя логика Стандартной Модели сама неизбежно указывает на собственную неполноту, на существование ещё более общей теории, основанной на ещё более глубоких представлениях о вакууме, как о сложноструктурированной динамической системе. [2] Парадокс в отсутствии этой внутренней логики в самой Стандартной Модели, где необъяснимым этой моделью явлениям просто придали названия и так оставили 19 неизвестных [3], что, собственно, самим физикам-теоретикам известно, но рассказывать об этом казусе они не любят.

У меня есть другое объяснение явления гравитации и создания всех элементарных частиц и создание вещества материи без мифических неизвестных и без “клеевых” полей: natural-principles.ru глава “Поле” стр. 3…10; и глава “Круговорот материи в природе и гравитационные волны” стр. 224…266.

Итак, как ни странно, на примере любой планеты или звезды, имеем:

1) Шар, вращающийся в некой среде;

2) Силу гравитации, пытающуюся “уронить” пару тел друг на друга, и от этого движения оба тела получают “направление набегающего потока среды”;

3) Видимое проявление, похожее на все движения подобных случаев в классической аэродинамике – вместо сближения тел – круговой полёт вокруг некоей общей точки – то, что сейчас называется “парадоксом Бентли”.

НЕ имеем только самой расчётной формулы, чтобы вычислять, например, какая сила не даёт Земле или Марсу … упасть на Солнце, а Солнцу упасть куда-то в центр галактики.

В данной статье, я показываю: что мешало ранее предшественникам сделать вывод этой несложной формулы (необходимая математика – не сложнее курса средней школы – для проверки доступна любому желающему). И привожу подробно весь вывод, а также как можно воспользоваться методом и формулой в случае уже НЕ шара, а произвольного тела вращения.

Теперь, по существу:

Вначале, для наглядности, вспомним простую игрушку небольшую полоску бумаги. Небольшую чтобы не гнулась под действием возникающих сил, поскольку всё справедливо и для листа газеты, но его гибкость не позволит увидеть суть явления. Годится листок из записной книжки, игральная карта… Поднимите бумажную полоску повыше, чтобы иметь удовольствие подольше наблюдать эффект, и отпустите её из любого горизонтального положения (Рис. 1). Вы увидите, что вместо того, чтобы, хаотично мотаясь из стороны в сторону, упасть на пол, полоска начнёт вращаться вокруг горизонтальной оси, полетит, постепенно опускаясь, в сторону и упадет совсем не там, где вы предполагали.


Здесь P – вес полоски бумаги; F – подъёмная сила.

Рис. 1

Почему полоска вела себя так? Полоска – это крошечное крыло, и как только Вы его отпустили, воздух (среда, в которой происходит падение), набегая на край крыла, вызвал подъёмную силу. Подъёмная сила на крыле, как известно, приложена на первой четверти хорды крыла, и направлена вверх перпендикулярно плоскости крыла, а сила тяжести приложена к центру хорды и направлена вертикально вниз. Таким образом, в первый же момент времени, как Вы отпустили бумажную полоску, возник момент, поднимающий один из её краёв вверх. Какой это край – случайность, зависящая от Вашей руки. При этом величина и направление подъёмной силы изменяются: сила сначала увеличивается, затем уменьшается. На больших “углах атаки”, т.е. когда ребро бумажки приближается к вертикали, о подъёмной силе говорить не приходится, но в силу инерции бумажка переворачивается и через некоторое время подъёмная сила возникает и возрастает вблизи края, который только что был сзади, а теперь повернулся вперёд. Таким образом, всё повторится, и так раз за разом, оборот за оборотом, пока бумажка не приземлится. Ряд последовательных положений полоски бумаги, представлен на Рис. 1.

Как уже говорилось, полоска бумаги выбрана для качественной иллюстрации явления, аналогично будут вести себя и тела другой формы. Наверное, достаточно сказано о причине, по которой тела начинают вращаться. Давайте рассмотрим, почему же полоска либо другое тело, вращаясь, летит именно вбок?

Вспомним хорошо известную со времён Н.Е. Жуковского задачу классической аэродинамики о цилиндре, вращающемся в потоке. Полоска – это цилиндр с не круговым, а прямоугольным основанием. Для простоты показа, иллюстрация на Рис. 2 классическая с круговым цилиндром.

Рис. 2

Где: V – линейная скорость вращения точки боковой поверхности цилиндра;

w – угловая скорость вращения цилиндра;

V – результат сложения линейной скорости вращения точки поверхности цилиндра и скорости набегающего потока;

R – результирующая сила действующая на цилиндр.

Как видите, скорость потока в слое вблизи поверхности на двух противоположных сторонах вращающегося цилиндра различна. Не буду сейчас приводить формулы, а только качественно повторю известный факт, что с той стороны, где скорость больше – давление потока на цилиндр меньше, и, наоборот, там, где скорость меньше – давление больше. Значит в результате взаимодействия вращающегося тела с потоком среды (в которой вращение происходит) возникнет сила, действующая со стороны среды на тело, перпендикулярно направлению набегающего потока, приложенная в его геометрическом центре (центре парусности) и направленная в сторону, где скорость набегающего потока увеличится. Закон хорошо иллюстрируется на таком теле как цилиндр, но в случае полоски бумаги мы имели такое же тело, которое начало вращаться вследствие движения в сторону Земли, т.е. падения. Значит направление набегающего потока здесь – от поверхности Земли вертикально вверх, полоска для нас имеет вращение против часовой стрелки, тогда полоска на Рис. 1 должна лететь вправо от нас. Проверьте. Возьмите, например, игральную карту (она не должна быть согнута или изогнута) поднимите вверх, отпустите и наблюдайте: в какую сторону она станет крутиться, и куда её повлечёт возникшая сила.

Если полоска (или любое тело) не начала при падении вращаться вокруг поперечной оси, она упадёт через время . Если полоска начала вращаться, то в результате она не только улетит далеко в сторону, но и в полёте будет находиться в течение . Это противоречит ныне необоснованно принятому мнению, что отпущенные с одинаковой высоты вращающееся и не вращающееся тела одинаковой формы и массы упадут одновременно. Не одновременно! Причина кроется в коэффициенте, который с подачи Симеона Дени Пуассона называется “гравитационная постоянная” или “постоянная Кавендиша”, но на деле в этот коэффициент входят 4 разных переменных величины: плотность материала; форма тела; положение тела и наличие вращения. Также это одна из причин, из-за которой более чем у двух десятков лабораторий, пытавшихся уточнить величину гравитационной “постоянной” в прошлом веке, и у тринадцати исследователей в позапрошлом веке не оказалось ни одной пары одинаковых результатов.

Люди обычно борются за стабильное направление полёта тел. Если тело само начинает вращаться в процессе полёта – оно “попадёт” не туда, куда Вы его наметили. Одно из правил Теории Изобретений Генриха Сауловича Альтшуллера (ТРИЗ) гласит, что если с недостатком нельзя бороться, надо его использовать, – заранее задать параметры и получать ожидаемый результат. На невращающемся теле задаются разные длины пути прохождения пограничных телу струек потока по разным сторонам тела, и получается снова разная скорость потока. На этом принципе основано, например, получение подъёмной силы на крыльях самолёта, что и открыл для всех Н.Е. Жуковский, переосмыслив написанное Г. Магнусом, и началось развитие авиации.

Мы говорим, что тело неустойчиво в полёте, и боремся с этим, придав ему начальное вращение и целясь на основании своего опыта запуска вращающихся тел (нож, пуля, бумеранг…), или разделяем подальше центр тяжести и центр парусности (стрела…). Дробинки, выстрелянные из ружья, в результате качения по стволу и в процессе полёта приобретают каждая – индивидуальное вращение. В результате дробинки разлетаются всё дальше друг от друга, и на подлёте к цели облако дробинок значительно больше калибра ружья. Если выстрелить пулю из ненарезного ружья, она будет вести себя подобно полоске бумаги в нашем опыте, т.е. начнёт крутиться вокруг произвольной поперечной оси. Пуля будет “кувыркаться”, ведь пуля это тоже крыло в потоке, возникнет момент между подъёмной силой и силой тяжести, и тогда встречный поток воздуха создаст силу, которая отклонит пулю от первоначального направления. Причём направление отклонения будет непредсказуемым. Поэтому прицельная дальность пулевой стрельбы из ненарезного оружия значительно меньше, чем из нарезного. Не пороха в заряде надо больше, а просто на большом расстоянии слишком велико непредсказуемое отклонение от цели. Если же в момент выстрела пулю раскрутить вокруг продольной оси, она будет вести себя как маленький ротор гироскопа, то есть создаст около себя опорную “подушку”, которая не позволит ей, отклонившись, начать боковое вращение, начать кувыркаться (об этом на сайте natural-principles.ru в главе “Движение тел” стр. 14 и далее). Следовательно, эффекта, наблюдаемого при боковом обтекании вращающегося цилиндра потоком в направлении полёта, не будет. Не будет силы, уводящей пулю в сторону, значит прицельная дальность стрельбы значительно увеличивается. Силы, поднимающие или опускающие вращающуюся в полёте пулю, возникнут только при сильном боковом ветре. Можно привести ещё много примеров, как люди борются с неустойчивым движением. Однако не ради методов борьбы с неустойчивым движением написана эта статья.

Шар — не полоска, но ведёт себя при вращении в полёте тоже достаточно “необычно”. Шар считается “простым” телом, однако, несмотря на существующее название явления “эффект Магнуса”, расчётных формул для вычисления величины боковой силы на вращающемся шаре до сих пор не существовало. Явление — есть, словесное объяснение — есть, а как только речь заходит о формулах — сразу вместо шара (“кручёного” или “резаного” мяча) начинают рассуждать о вращающемся цилиндре в полёте и формулу приводят — тоже для цилиндра. Почему? Придётся совершить экскурс в историю, а затем предъявить вывод этой элементарной формулы для шара, вращающегося в полёте (в невязкой среде).

Вот что рассказал инженер Г. Смирнов в статье “Аэродинамическая поэма, или мяч в воздухе” [4] опубликованной в журнале Техника молодёжи № 12 за 1967 год: “…Хотя некоторым любителям футбола “сухой лист” показался новинкой, для специалистов-аэродинамиков в нём не было ничего особенно неожиданного, ибо секрет таких “резанных” мячей был раскрыт английским физиком лордом Рэлеем ещё в 1877 году. Впрочем, Рэлей не был здесь первым. Он объяснил полёт теннисного мяча, опираясь на идею, высказанную за 25 лет до него Магнусом…

Профессор Берлинского университета Густав Магнус был одновременно и консультантом артиллерийской академии, и поэтому именно к нему в 1852 году обратились артиллеристы за объяснением проблемы, неизменно ставившей их в тупик. Пушечные ядра даже в безветренную погоду имели иногда странное обыкновение отклоняться вправо или влево от вертикальной плоскости стрельбы. Магнус предположил, что причина столь странного поведения — вращение ядер.

Чтобы проверить свою догадку, он провёл серию испытаний с вращающимся в потоке бронзовым цилиндром. Выяснилось, что цилиндр действительно смещается поперёк потока в ту сторону, где окружная скорость цилиндра и скорость потока совпадают, то есть на вращающийся цилиндр действует поперечная сила. Объяснив качественно явление, Магнус не сумел измерить эту силу, не сумел вывести формулу для её вычисления.

Зато он дал артиллеристам весьма ценные рекомендации, а спустя несколько лет сделал изобретение, которое позволило гладкоствольным орудиям конкурировать с появляющимися нарезными ещё в течение нескольких лет…”. Статья и дальше содержит любопытные факты, но относительно нашей темы из приведённого отрывка видно, что, несмотря на качественное объяснение возможной причины, ни Магнус, ни Рэлей расчётной формулы для величины боковой силы не вывели. Даже для цилиндра, хотя вопрос шёл о шаре. Следующий успех был достигнут уже Николаем Егоровичем Жуковским, который, исследуя вращение цилиндра в набегающем потоке, из уравнения Бернулли вывел расчётную формулу для цилиндра, вращающегося перпендикулярно потоку. Вращающийся шар Жуковского не заинтересовал, и для него расчётная формула так и не была выведена. А из вращающегося цилиндра “выросла” теория крыла.

Я не стану приводить здесь вывод формулы Жуковского для цилиндра, а выведу из неё формулу для шара.

Но сначала придётся показать очередной признанный “классикой” ляпсус. Ляпсус получился случайно из очень большого желания объяснить “эффект Магнуса” на основе экспериментов, которые ещё автором доклада и статьи в то время широко не проводились, а заодно, при этом, принизить роль самого Густава Магнуса в раскрытии сути явления. Речь идёт о Людвиге Прандтле. Он очень спешил донести до широких масс свои воззрения на силы, возникающие на вращающемся цилиндре в потоке, их значительную величину и снова объяснить природу их возникновения, хотя сам в то время практически этим не занимался, а исследовал лишь поперечное обтекание цилиндра в потоке воды. Всего 17 точек на 3х графиках для 3х тел, при разных соотношениях окружной и набегающей скорости и из них только 5 точек-экспериментов относятся к объясняемому явлению – ничтожно малая “база”, если речь шла о более чем 20и летней работе. Речь идёт о докладе на заседании Геттингенского физического общества 17 ноября 1924 года. Доклад вышел в виде статьи в журнале “Die Naturwissenschaften” 6 февраля 1925 года. В русском переводе вышел в том же 1925 году: “Успехи физических наук” Т.V. вып. 1-2. Статья называется: “Эффект Магнуса и ветряной корабль” [5].

Фотографии вихрей воды с блёстками, обтекающих цилиндр, любят перепечатывать в разных изданиях (к эффекту Магнуса они отношения не имеют). На цифры и формулы из статьи ссылаются, но без вывода формул и без подстановки значений, приводящих к этим цифрам.

В виде сносок к своим фразам Л. Прандтль приводит цитаты самого Густава Магнуса, и по этим цитатам, судите сами, видно, что пояснений к ним не требуется. Магнус (в 1852 году) знал закон Бернулли (1738 год) и, логично следуя этому закону, вполне образно объяснил явление. Не вывел формулу? А численно, словами, показал те же значения, из которых Л. Прандтль и строил свои выводы. Цитата Густава Магнуса из сноски 1) на странице 4 статьи: «Движение воздуха вдоль поверхности цилиндра не сопровождается, как это принято думать, увеличением давления около поверхности, но наоборот, уменьшением давления в направлении, перпендикулярном к воздушному потоку, при чем уменьшение давления тем значительнее, чем больше скорость струи. Далее Магнус заключает: Если цилиндр не вращается, то уменьшение давления одинаково с обеих сторон. Если же происходит вращение, то с той стороны цилиндра, где направление вращения и скорости струи совпадают, уменьшение давления будет сильнее, чем с другой стороны. С этой стороны Магнус наблюдал как бы воздушную запруду и потому предположил наличие такого же избыточного давления, которое наблюдается при встрече двух противоположно направленных водяных струй». То есть, на самом деле, давления с разных сторон Магнус измерил, раз уверенно говорит именно об изменении давлений вокруг тела в среде, как о причине явления возникновения силы.

Цитата Людвига Прандтля с описанием одного из опытов Густава Магнуса (на странице 2): «Латунный цилиндр мог вращаться между двумя остриями; быстрое вращение цилиндру сообщалось, как в волчке, шнуром. Вращающийся цилиндр помещался в раме, которая в свою очередь легко могла поворачиваться. На эту систему пускалась сильная струя воздуха при помощи маленького центробежного насоса. Цилиндр отклонялся в направлении, перпендикулярном к воздушной струе и к оси цилиндра, при том в ту сторону, с которой направления вращения и струи были одинаковы. Направление отклонения было такое же, как и в артиллерийских опытах, величину отклоняющей силы Магнус не измерял; он полагал, однако, что порядок этой величины такой же, как и при отклонении сферических снарядов.» Книга Г. Магнуса, на которую ссылается Л. Прандтль, издана в Берлине в 1852 году. Возможно, инженер Г. Смирнов был недостаточно точен, полагая, что только в 1852 году артиллеристы обратились к консультанту-профессору, ведь на обдумывание, создание установки, многочисленные эксперименты и написание книги должно было быть затрачено достаточное количество времени. Из ссылки 2) на приводимой мной целиком странице 18 статьи, явствует, что сам Л. Прандтль говорит, будто потратил на похожие исследования куда больше 20 лет. Тем более нелепой кажется допущенная им ошибка. Чтобы показать, в чём именно ошибка, я привожу факсимиле страницы 18 целиком. На странице есть ссылки на рисунки, поэтому, для точного восприятия, я рисунки, относящиеся к эффекту Магнуса, и графики, приводимые Л. Прандтлем как приложение к своей теории, также привожу факсимильно.

Между страницей 4 и страницей 18, где Прандтль вновь обращается к сути явления, следует рассказ о том, что у Магнуса были недостаточно удлиненные цилиндры и это, мол, искажает явление (хотя эффект изначально наблюдался уж на совсем “коротких” телах – на ядрах), рассказ о собственных экспериментах по обтеканию струёй воды в лотке вертикально стоящих и пересекающих поверхность, цилиндров, о своём переезде из города в город…


Обратите внимание на последнюю формулу. В ней и содержится основная ошибка. Чуть выше Прандтль упоминает расчёты в отделе II. В отделе II на странице 9 Прандтль рассуждает о циркуляции по Жуковскому: «каждый линейный элемент любой замкнутой кривой, окружающей предмет, вызывающий силу, умножается на компонент скорости в его направлении, эти произведения складываются (интегрируются). Такаяциркуляцияобладает замечательными свойствами в случае потенциального потока. В обычных потоках, как, например, на рис. 3, она равна нулю для любой замкнутой кривой; для круговых потенциальных потоков, типа изображенных на рис. 4, 6 и 7, циркуляциядля всякой замкнутой кривой на обнимающей тела также равна нулю, но для любой кривой, один раз охватывающей тело, она имеет конечную величину, так что значение ее является мерой для кругового потока. Пусть на рис. 4 радиус произвольной круговой линии тока равен , скорость надо брать полностью, так как она совпадает по направлению с линейным элементом, следовательно, в данном случае ; величина постоянна, поэтому должно быть обратно пропорционально расстоянию

На странице 9 идут рассуждения, что всё происходит “вокруг” цилиндра, для “круговых” потоков, а на странице 18 эти рассуждения “по Жуковскому” уже забыты. На странице 18 появляется “видимая поверхность цилиндра” и она, судя по формуле , - просто проекция цилиндра в свету – прямоугольник. Такое утверждение, видимо, Прандтль записал, так как постоянно пытался сравнивать эффективность вращающегося на ветру цилиндра с парусами на том же ветру. Свою статью он начинает предвосхищением: «достаточно сказать, что силовые действия на вращающийся цилиндр должны быть в 10-15 раз больше, чем на парус с такой же видимой поверхностью». Видимая поверхность паруса по Прандтлю – фигура “плоская” и при вычислениях эффективности действия вращающегося цилиндра (длина окружности , соответственно площадь боковой поверхности цилиндра ), Прандтль случайно ли или специально, но записывает формулу потеряв множитель . Прандтль записывает формулу того, на что собирается делить как и получает вместо площади боковой поверхности цилиндра, участвующей в „циркуляции“ просто площадь прямоугольника такой же длины и шириной . То есть в знаменатель вычисляемой формулы встаёт значение в раз меньшее.

Без этой ошибки последняя формула на странице 18 должна была иметь вид:

Но такого не случилось, и Прандтль продолжал быть уверен, что эффективность вращающегося цилиндра по сравнению с парусом должна достигать 12-15 раз. Прандтль в свою ошибку не поверил даже когда капитан судна, на котором проводилась практическая проверка идеи цилиндрических парусов, указал на фактическую в 3 раза меньшую к теории эффективность. Когда Прандтль наконец-то сам приступил к экспериментам и получил реальные результаты, он был неприятно удивлён, что его ожидания НЕ подтвердились. Но не нашёл и не исправил ошибку у себя в формулах. Взгляните на рисунки из статьи (Рис 25 и Рис. 26).

То, что первоначально получилось у Прандтля подписано “без шайб” и значение этой величины подъёмной силы как раз приблизительно “4”.

Я намеренно расположил эти рисунки рядом, подогнал масштабы (видно по изменившимся одновременно величинам подрисуночных подписей) и сдвинул рисунки так, чтобы величины, подписанные на вертикальной оси, совпадали. Видно, что как ни меняй вид графиков, но одни и те же исходные экспериментальные значения дают одни и те же величины на графиках.

Кстати, посмотрите, эффективность “профиля 426” использованного поперёк потока “в свету” в те же раз ниже, чем у цилиндра “без шайб”, имеющего такую же площадь “в свету”.

Ярослав Иосифович Войткунский на лекциях, знакомя студентов с теорией Прандтля, называл и это теоретическое число “12,57”; а после краткой паузы добавлял: “что на практике не наблюдается”. На недоумённый вопрос “как же так, что же мы учим?”, отвечал: “другой теории не имеем. Если кто-то из вас сможет создать – пожалуйста”.

На практике снова было получено 3х кратное недостижение теоретической тяги, когда Жак Ив Кусто построил парусник Альсиона с цилиндрическими парусами, которые, по площади поверхности всё же эффективнее обычных парусов в 4 раза (но не в 12-15 раз, как снова подтвердилось).

Теорию я исправлять в данной статье не стану (достаточно лишь возвратить и забыть о “площади цилиндра в свету”), но кое-что из этой этапной для гидродинамики статьи Прандтля поправить и объяснить обязан. Про потерю важной составляющей знаменателя формулы, числа , из-за которого ожидания Людвига Прандтля оказались обманутыми в раз, уже сказано достаточно. Теперь объясню дальнейшие действия Прандтля, и что из них получилось.

Не получив согласования своей теории с экспериментом, Прандтль опять не заподозрил какой-либо ошибки в теории. Он заподозрил в некорректности эксперимент. Он решил, что поток воздуха тормозится у стенок канала и из-за этого эффективность “в 12-15 раз” не наблюдается. Что следовало сделать? Взять для эксперимента ещё более удлиненный цилиндр. Сравните, на Рис. 23 и 24 диаметры и длины подписаны. Соответственно удлинения получаются: 200/40=5 и 330/70=4,71. Следовало попробовать с удлинением 20 или хотя бы 10, и тогда уже судить, настолько ли влияют стенки. Тем более, что среди рассуждений о расчётах Рэлея (на странице 8) он добавил: «Впрочем, расчёты Рэлея, а следовательно, и наши последние соображения справедливы только в отношении очень длинного цилиндра, в котором можно не обращать внимания на состояния на концах. Для короткого цилиндра это уже недопустимо. Здесь можно только упомянуть, что в идеальной жидкости при вращательном движении на концах цилиндра появляется кинетическая энергия, связанная с вихрем; она остается в потоке, и здесь возникает соответствующее сопротивление (так называемое наведенное сопротивление, так же как у подъемных крыльев). Отсюда позволительно заключить, - и опыты это подтверждают, - что эффект Магнуса полностью может наблюдаться только у весьма длинных цилиндров; с короткими цилиндрами и шарами эффект наблюдается в форме, сильно искаженной вихревым движением1). Все старые наблюдения производились с относительно короткими телами, измерения в Геттингене в 1923 были впервые сделаны на достаточно длинных цилиндрах». Это он о собственных опытах с цилиндрами, имеющими удлинения всего 5 и 4,71 так сказал: “достаточно длинные”? Но ведь и Магнус экспериментировал примерно на таком же удлинении цилиндра. На самом деле, вся фраза Прандтля смешивает в одну кучу мух с котлетами. Она затеяна, чтобы показать всю важность собственных исследований с сопротивлением цилиндрических тел (как видите, практически, не слишком уж удлиненных 4,71-5). На самом деле, если мух от котлет отделить, то эффект от возникновения боковой силы – эффект Магнуса – сам по себе, сопротивление и срывающиеся вихри – это отдельная тема. Смешивать их совершенно не нужно. Да, обе имеют место быть. Но решая каждую в отдельности, решение найти можно. Решая одной кучей – только запутаться, что Людвиг Прандтль и сделал.

Итак, Прандтль не стал испытывать цилиндры большего удлинения, как уверял всех в докладе. Он решил отделить вращающийся около цилиндра поток от тормозящего движения стенок. Вообще-то, подобные эксперименты по изменению действия сил в гидродинамике позже проводились (Владимир Михайлович Дубицкий). Если бы Прандтль сам догадался их провести, выяснилось бы, что для “отсечения” влияния стенок ему понадобилась бы “шайба” диаметром всего на 2% больше, чем диаметр самого цилиндра (в одном случае 40,8 мм, в другом случае 71,4 мм).

Если бы дело было в торможении потока на границе цилиндр-стенка, в создании вихрей, уносимых потоком и в недоразвитии вследствие этого боковой силы, то все взятые размеры шайб должны были бы привести к долгожданному Прандтлем одинаковому результату: эффективности “12” (или выше). Но, увы, не привели и не достигли. Да, к тому же значения получились разными.

О чём говорят значения, подписанные на Рис. 23 и 24 “шайбы 120” и “шайбы 140”? Анализ показывает, что приведённые графики соответствуют только схеме на Рис. 23. Совершенно очевидно, что “зажав” столь высокими шайбами поток воздуха вокруг цилиндра, Прандтль испытывал уже не подъёмную силу на цилиндре, который видел! Воздух, буквально зажатый шайбами, крутился практически с той же угловой скоростью, что и исходный испытуемый цилиндр. Появилась “присоединённая масса” воздуха. Вся вновь созданная система из цилиндра и зажатого шайбами объёма воздуха крутилась, как вновь построенный цилиндр, а остальной поток обтекал этот новый цилиндр так же, как до шайб обтекал собственно испытуемый цилиндр. Фактически, при “шайбах 120” диаметр вновь созданного цельного цилиндра, с которого были сняты точки для графиков, составил 87,5 мм; при “шайбах 140” наружный диаметр цилиндра из воздушных масс составил 94,285 мм. Это вполне естественно, что вновь созданный плотный цилиндр из воздуха несколько меньше, чем ограничивающие его размеры твёрдых шайб. Неестественно, если бы вновь созданный цилиндр оказался бы эквивалентным по диаметру цилиндру большему, чем шайбы. Такое получается, если провести расчёты с установкой с Рис. 24. Очевидно, что данные эксперименты на ней и не проводились.

Учитывая эффект “присоединённых масс”, фактически, Прандтль представил на графиках (рис. 25 и 26) результаты испытания цилиндра с длиной 200 мм и 3 мя вариантами относительного удлинения: 200/40=5; 200/85,7=2,3337; 200/94,285=2,1212. Таким образом, последняя приведённая мной цитата из доклада и статьи Прандтля не просто смешивает в одну кучу разные явления (мух и котлеты), а есть просто неосознанная ложь. Нет вообще в материалах статьи опытов на «достаточно длинных цилиндрах».

Будучи введён в заблуждение собственной трактовкой своих немногочисленных опытов по исследованию “эффекта Магнуса”, Прандтль в процессе публикации своей работы сделал и другое неверное заключение, но, как и прочее, вставил его в начало своей статьи и доклада, то есть ДО объяснения того, какие исследования провел, и какие результаты реально получил. Вот какую мысль извлёк из непонятого эксперимента Прандтль: «Часто ошибочно смешивают скорость кругового потока с периферической скоростью вращающегося цилиндра. Связь этих скоростей заранее не определена и вообще не простая; пока ее приходится находить из опыта.» Конечно, «не простая», когда вращая цилиндр 40 мм, непродуманно устроил эксперимент так, как будто вращал цилиндр то 85,7 мм (при шайбах 120 мм (200/120=1,6), а 200/85,7=2,3337), или цилиндр 94,285 мм (при шайбах 140 мм (200/140=1,4285), а 200/94,285=2,1212). Где уж тут простую и чёткую связь установить с размерами цилиндра, на котором экспериментировал. Вот и получилось, что запутался и именно само это утверждение Прандтля: «Часто ошибочно смешивают…» – снова “на практике – не наблюдается”.

Прандтль же, верный своим заблуждениям, на докладе показывал опыты, а в статью вставил рисунки, где и к цилиндру, и к трёхгранной призме приделал свои «шайбы», хотя и без них “эффект Магнуса” отчётливо наблюдается. Наблюдается и на плоском теле.


Повтор Рис. 1 из начала статьи

Теперь, пора, наконец, перейти собственно к рассмотрению основной задачи: как вывести из формулы Жуковского (боковой силы эффекта Магнуса) для цилиндра, вращающегося в потоке, формулу для шара, вращающегося в потоке.

В 1738 году в Санкт-Петербурге Даниил Бернулли опубликовал книгу с названием «Гидродинамика», в которой, в частности, привёл и описание закона, названного потом “закон Бернулли” (Прандтль назвал „теорема Бернулли“). Скорее Закон, теорема требует доказательства, а то, что в виде формулы написал Бернулли, наблюдается всегда, но объяснений явления на молекулярном уровне – до сих пор никто найти не смог: в стационарном потоке (1)

Поскольку это именно Закон и выполняется всегда, практически все исследователи потоков и тел выводили свои формулы из него и уравнений движения невязкой жидкости Леонарда Эйлера.

Итак, вот исходный вид формулы величины боковой силы на вращающемся цилиндре по Николаю Егоровичу Жуковскому: . [6]

Где: - диаметр цилиндра;

- длина цилиндра;

- скорость набегающего потока;

- окружная скорость вращения цилиндра;

- плотность среды;

- поперечная сила.

Нынче силу обычно обозначают (Force), а буквой (Pressure) – давление. Поэтому во взятой из книги формуле сменю главную букву: (2)

Переставим для удобства буквы в формуле Жуковского: . Можно обратить внимание на то, что
=
Sбоковой поверхности цилиндра. Тогда формула (2) примет вид:

. (3) Для преобразований этого не нужно, но для понимания, что в процессе создания силы явно участвует вся боковая поверхность цилиндра (а никак не «видимая поверхность цилиндра» (в свету)), воочию увидеть это – полезно.

(4) — весьма неудачная форма записи!

Преобразую её: ; при этом вопреки заблуждению запутавшегося в результатах своих экспериментов и собственной же теории Людвига Прандтля окружная скорость (циркуляция в пограничном слое) таки имеет непосредственное отношение к радиусу цилиндра, который вращается: ;

;

; но:

. (5)

Где: - боковая сила;

- объём цилиндра;

- угловая скорость вращения цилиндра;

- скорость набегающего потока.

А что же в случае шара?

Площадь поверхности взаимодействия изменить бы не трудно:

С другой стороны, если цилиндр имеет высоту , то, получается:
боковой поверхности цилиндра = шара (6)

Ещё раз, теперь уже словами: площадь поверхности шара (сферы) равна площади боковой поверхности описанного около этого шара цилиндра! См. Рис. 3.

Рис.3

Если вдруг захочется вырезать параллельными плоскостями на равном расстоянии друг от друга, в произвольном месте по высоте, из шара, ряд слоёв, то вся площадь каждого из этих шаровых слоёв будет складываться из двух различных по величине площадей вырезанных из шара кругов (верхнего и нижнего оснований) и площади боковой поверхности шарового слоя:

++ = . Причём площадь боковой поверхности шарового слоя в каждом из слоёв – совершенно одинаковая величина: произведение длины экватора шара (или длины окружности основания описанного около шара цилиндра) на высоту слоя между секущими плоскостями (). Сферические наклонные “стенки”, опирающиеся на круги меньшего диаметра, чем сама сфера, каждый раз будут иметь площадь такую же, как произведение длины окружности основания описанного около шара цилиндра на расстояние между секущими плоскостями.

Площади кругов в каждом из шаровых слоев будут меняться, а ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ шарового слоя не будет ничем отличаться от площади боковой поверхности любого другого шарового слоя (при условии, что все эти секущие плоскости были на равном расстоянии и параллельны друг другу).

Площадь боковой поверхности описанного около шара цилиндра равна площади поверхности самого шара. Но не объём.

Объём шара: ;

Объём цилиндра такого же радиуса и высотой : .

Учитывая равенство радиусов , можно сравнить во сколько раз объём описанного около шара цилиндра больше объёма самого шара: ; ; .

(7)

Но это соотношение, совершенно очевидно, непригодно для подстановки в формулу (5) для нахождения боковой силы. Иначе получится, что если сравнить при равных объёмах подъёмные силы на шаре и цилиндре, сила на шаре окажется в 1,5 раза выше. А это очевидно не так.

Формула (3) тем и была полезна, что наглядно показывала важность площади боковой поверхности цилиндра в нахождении величины боковой силы. Для нахождения пути решения этой задачи – очень полезная подсказка. Надо заменить поверхность шара боковыми поверхностями цилиндров расположив их так, как показано на Рис. 4:

Рис. 4

Если подобный “шар” вращать вокруг его (вертикальной на данном рисунке) оси, то эффект Магнуса должен возникать на каждой из боковых поверхностей этих цилиндров. При стремлении к бесконечности количества таких боковых поверхностей цилиндров, сложенных по образу шара, мы и сможем вычислить боковую силу на вращающемся в потоке шаре. Задача, получается, сводится первоначально к нахождению суммарной площади такой составной из боковых поверхностей цилиндров квазиповерхности.

Я не зря после Рис. 3 тратил несколько абзацев, чтобы убедить любого скептика, что у реальной исходной сферы площадь больше, чем у квазисферы на Рис. 4. Взгляните на рядом расположенные Рис.3 и Рис. 5, где фигура состоит из только боковых поверхностей цилиндров (никаких донышек, кругов и горизонтальных колец) рядом. Только сумма вертикально расположенных поверхностей-колец – боковых стенок цилиндров.

Первая задача состоит в нахождении площади такой квазиповерхности, заменяющей реальную поверхность шара (для боковой поверхности каждого цилиндра мы по формуле Жуковского силу от эффекта Магнуса найти можем).

Вторая задача: для каждого из цилиндров этой квазиповерхности радиус соответствует величине окружной скорости вокруг этого цилиндра. А в среднем для всего шара какой это радиус?

Каждая из задач, решаемая по очереди, трудности не представляет.

Боковую поверхность цилиндра легко можно развернуть на плоскость. Если несколько цилиндров расположить рядом (поверхности НЕ погружаются одна в другую), и сдвинуть развёртки, например, влево, чтобы все начала прямоугольников расположились на одной оси, получится фигура, изображённая на Рис. 6.


Рис. 6

Высота этой суммы развёрток боковых поверхностей цилиндров величина постоянная: .

Длина каждой развёртки длина окружности на радиусе сечения; это величина постоянная. Значит, нужно определить как средне арифметическое расстояние от диаметра до линии полукруга.

(8)

Тогда, получается, мы уже нашли способ не только сосчитать суммарную величину составленной из боковых поверхностей цилиндров поверхность квазисферы, (9), но и нашли средний радиус, на который нужно умножить угловую скорость вращения шара, чтобы получить окружную скорость шара, которую можно применить в формуле Жуковского.

(10)

Теперь можно построить цилиндр радиуса и высотой (Рис. 7).

Объём этого цилиндра будет несколько меньше объёма шара, а боковая сила – такой же как и у исходного шара.

; Сделав подстановки, получим: . (11)

Чтобы сравнить с объёмом шара, который вычисляется: , преобразую обе формулы относительно : ; (12)

Или, приблизительно подсчитав коэффициент пропорциональности: .

Рис. 7


Боковая поверхность цилиндра равна по площади поверхности шара (сферы)

Объём цилиндра равен объёму шара

Радиус цилиндра совпадает со средним расстоянием от оси вращения до поверхности шара (сферы)





П л о щ а д ь    б о к о в о й    п о в е р х н о с т и

Р а д и у с ,    о б ъ ё м    ц и л и н д р а    ч е р е з    р а д и у с ,    о б ъ ё м    ш а р а

;

;

;

В е л и ч и н а    с и л ы    М а г н у с а

; ; ; ;

;

;

;

.

;

;

;

.

;

;

;

.

С р а в н е н и е    в е л и ч и н    с и л    М а г н у с а ,    в ы р а ж е н н ы х    ч е р е з   о б ъ ё м    ш а р а


Таким образом, в крайнем правом столбце таблицы представлен вывод из формулы Жуковского, величины боковой силы, действующей на вращающемся в потоке шаре:

(13)

Сравнивая с выводом в среднем столбце таблицы, видим, почему именно сила на шаре меньше, чем сила на цилиндре такого же объёма.

Сравнивая с левым столбцом таблицы, видим, что сравнение с цилиндром по принципу одинаковости площадейвовсе не правомерно применительно к вращающемуся в потоке шару.

Кроме того, вопреки утверждению Прандтля, что меньший эффект от явления Магнуса, проявляющийся на сфере, связан именно со срывами потоков, унесением энергии сорвавшимся с тела вихрем в поток, и, вследствие этого, недоразвитием величины силы, видно, что меньшая величина “подъёмной силы” на телах сферических, по сравнению с цилиндрическими, имеет просто совершенно другую природу, чем пытался объяснить Прандтль. Дело в том, что, получается, радиус циркуляции нужно брать в расчёт меньший, чем даже радиус цилиндра равного по объёму шару. И никак нельзя брать циркуляцию, исходя из диаметрального размера шара (или с дополнительным радиусом из-за действия присоединённых масс, как получились эксперименты у самого Прандтля). Шар в создании подъёмной силы просто “по природе своей”, по форме своей менее эффективен, чем даже короткий цилиндр того же объёма. Разница незначительна, но она есть.

. (13)

Сравните формулы для тел вращения: и .

Коэффициент - понятен наглядно, а коэффициент – немногим, но меньше.

Можно сделать вывод, что в общем виде формула для нахождения боковой силы на вращающемся в невязкой среде теле, вывод которой Жуковский так, получается, и не завершил, должна была иметь вид:

. (14)

где: – коэффициент, учитывающий перевод реальной формы тела к форме тела составной из боковых поверхностей цилиндров. Если тело не шар и не цилиндр, для которых я формулы уже показал, а какое-то отличающееся по форме (относительно своей оси вращения), то нужно проделать точно такие же мероприятия по нахождению величины радиуса циркуляции (среднего арифметического радиуса от оси вращения до линии контура тела). Найдя этот радиус, можно использовать формулу для цилиндра. Пересчитав соотношение объёма цилиндра на объём исследуемого тела, из формулы (5) получим формулу для интересующего нас в данный момент тела (14) с каким-то, уже иным значением коэффициента .

В случае, если ось вращения тела НЕ перпендикулярна направлению набегающего потока? Надо вывести ещё более общий вид формулы, ведь пока она справедлива только в случае, когда “набегающий поток” строго перпендикулярен оси вращения тела. А если не перпендикулярен?

Для рассмотрения этого, более общего случая, вернёмся опять к исходной формуле Жуковского: . (4)

На Рис. 8, Рис. 9а и Рис. 9б набегающий поток (или ) изображён не перпендикулярно оси вращения (под углом ). Видно, что в обоих случаях , . Проекция скорости набегающего потока на направление, перпендикулярное оси вращения, не зависит от направления отклонения набегающего потока, т.е. не может быть зависимости отклонена влево или вправо ось вращения тела от перпендикуляра к набегающему потоку. Неперпендикулярное набегание потока оказывает влияние только на величину боковой силы, а направление действия этой боковой силы в обоих случаях будет одинаковым. Отклонения оси вращения “вперёд” или “назад” не влияют на величину боковой силы, но влияют на её направление.



Рис. 8

Рис. 9а                                                                    Рис. 9б

Таким образом, формула величины боковой силы при эффекте Магнуса, окончательно имеет вид: . (15)

Где: угол отклонение оси вращения тела от перпендикуляра к направлению набегающего потока.

Итак, формулу для нахождения величины силы на вращающемся в среде шаре, получили: (16) и ось вращения шара может находиться под углом к потоку.

Здесь выведена формула боковой силы для шара, вращающегося в потоке среды. Наличие этой формулы даёт возможность не только исследовать полёт ядер или дробинок. Наличие этой формулы позволило изучать Закон движения шаров, которые мы наблюдаем почти каждый день, а точнее – почти каждую ночь. Причем на одном таком шаре мы живем. Речь идет о законах движения небесных тел – планет и звёзд. Вы сможете увидеть, что эти законы, как ни странно, подчиняются выведенной и доработанной формуле (16). Об этом – в следующих статьях, а также на сайте natural-principles.ru в главе “Земля”. И что удивительно, но оказалось фактом: – орбитальное движение Земли – оказалось прямым подтверждением наличия не пустоты ВАКУУМА вопреки незнанию законов оптики и неумелому неискусству в проведении экспериментов американским мичманом Альбертом Абрахамом Майкельсоном. Формула (16) позволила одним из способов (описаны в главе “Земля”) напрямую взвесить Землю по параметрам орбитального полёта. Результат взвешивания аэродинамикой получился таким же, как взвешивание по параметрам измерений движения атмосферы, океанических течений и вращения коры планеты. Таким оказалось практическое применение формулы .



Список литературы:

  1. Исаак Ньютон “Математические Начала Натуральной Философии” перевод с латинского и комментарии А.Н. Крылова, М: “НАУКА”, 1989.
  2. "Вакуум, элементарные частицы и вселенная" Н.Н. Латыпов, В.А. Бейлин, Г.М. Верешков М: Изд-во Моск. ун-та, 2001. - 184 с
  3. “Физика невозможного” Митио Каку; Пер. с англ.- 2-е изд. – М: Альпина нон-фикшн, 2010. – 456 с.
  4. “Аэродинамическая поэма, или мяч в воздухе” Г. Смирнов “Техника молодёжи” № 12, 1967.
  5. “Эффект Магнуса и ветряной корабль” Л. Прандтль “Успехи физических наук” Т.V. вып. 1-2, 1925.
  6. “Популярная гидродинамика” В.И. Меркулов, Киев, Изд-во “ТЕХНИКА” , 1976. – 143 с.


Комментарии:

Фамилия Имя Отчество:
Комментарий: