» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
 » Все публикации автора

Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Май, 2021 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №5 (50) 2021

Автор: Ибрагимова Феруза, 3 курс Математика
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Линейные нормированные пространства

Статья просмотрена: 188 раз
Дата публикации: 12.05.2021

УДК-51

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Ибрагимова ФерузаАхметовна

студент 3 курса

ФГБОУ ВО «Калмыцкий государственный университет им. Б.Б.Городовикова», г. Элиста

 

Аннотация. В данной статье изучены основные линейные нормированные пространства. Рассмотрены основные понятия и аксиомы метрики.  Примеры линейных нормированных пространств.

Ключевые слова: линейные нормированные пространства, аксиомы метрики.

 

Определение:Линейное пространство называется нормированным, если для каждого элемента определено вещественное число, которое называется его нормой,  обозначается  символом  и для которого выполняются следующие аксиомы

только для  нулевого элемента  х =  пространства  Е;

 для любого (вещественного или комплексного) числа λ;

 (неравенство треугольника).

        Элементы линейного нормированного пространства Е  будем называть точками. Покажем, что любое линейные нормированные пространства Е можно превратить в метрическое пространство , если расстояние (метрику) между любыми двумя точками  задать формулой
Действительно,  проверим выполнение аксиом метрики для метрики  (1)

а)    пусть ⇔ в силу (1)  ⇔ по аксиоме  элемент  х – у = ⇔  элементы  совпадают , то есть  х = у  (выполняется).

б)    таким образом, (выполняется).

в) .

(выполняется).

       Аксиомы метрики выполняются, следовательно, формула (1) действительно задает в л. н. п. Е расстояние между точками х и у.

 Если у = , то  для любой точки х ∈ Е.

Таким образом, нормированное пространство есть частный случай метрического пространства.

 Все  понятия и факты,  изложенные в предыдущей главе для метрических  пространств переносятся на нормированные пространства. Будем считать , что определения сходимости  (по метрике), замкнутых и открытых множеств и другие определения  связаны с метрикой Пусть в произвольном линейные нормированные пространстваЕ для любой точки х ∈ Е   заданы две нормы  .

        Определение: Будем говорить, что норма  подчинена норме  , если неравенство    выполняется для некоторого числа  β > 0 и для любого  х ∈ Е.

        Определение: Будем говорить, что две нормы
эквивалентны, если существуют числа α, β > 0 такие, что неравенство выполняется для всех  или выполняется неравенство

        Если применить общее определение сходимости ( по метрике) в метрическом пространстве к нормированному пространству, то получим следующее определение сходимости ( по норме) в нормированном пространстве.

Определение:Говорят, что бесконечная последовательность точек сходится к точке х ∈ Е по норме и пишут если числовая последовательность  норм
Эта сходимость называется сходимостью по норме.

        Отметим, чтонорма есть функция,  непрерывная относительно аргументов х и у, то есть,  если последовательность   а  по норме, то числовая последовательность  если  все элементы  то если  по норме. Это свойство называется свойством непрерывности нормы.

Определение: Бесконечная последовательность точек называется фундаментальной последовательностью (или сходящейся к себе), если норма

Определение: Линейные нормированные  пространства Е называется полным пространством, если в нём сходится (по норме)  любая фундаментальная последовательность.То есть, из того, что следует, что существует
такой,       что .

        Определение: Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Примеры линейных нормированных пространств

1.                 Множество R всех действительных чисел х является линейным нормированным пространством если норму любого  числа х задать по формуле

Проверим выполнение аксиом нормы

I.  для любого х ∈R,

только для числа 0 (выполняется).

II.  (выполняется)

III.  Проверим неравенство треугольника

 (выполняется)

      Аксиомы нормы выполняются, следовательно, в пространстве
 формула действительно задает норму любого вещественного числа х, то есть
2. Рассмотрим действительное  n – мерное  пространство
 Норму вектора х = ( ) можно задать формулой .

Если же норму  этого же вектора  задать по другому, а именно, по формуле                                             

Или по формуле  то мы получим линейные нормированные пространства     соответственно.

3. Рассмотрим пространство   вещественнозначных (или комплекснозначных) функций,  непрерывных на заданном отрезке [a, b].

 Норму любой  функции f(t) зададим равенством

Получим  линейное нормированное пространство

Если же норму функции  задать равенством

 ,

то получим линейное нормированное пространство

4.Пространство m бесконечных ограниченных числовых последовательностей ) будет линейным нормированным пространством, если норму любой  последовательности  х определить по формуле .

5.Пространство  всех числовых последовательностей х = ( ) таких, что сходится ряд  (<∞), является линейным нормированным пространством, если взять    .

6.  В пространстве функций, непрерывных на отрезке [a, b] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до k – го порядка включительно, норму функции f(t) можно вычислять по формуле:

получим линейное нормированное пространство , которое широко используется в вариационном исчислении.

Список литературы:

1. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ/ Б.З. Вулих. – М.: Физматгиз, 1958
2. Городецкий, В.В. Методы решения задач по функциональному анализу/ В.В. Городецкий, Н.И. Нагнибида, П.П. Настасиев. – К.: Выщашк., 1990.
3. Иосида, К. Функциональный анализ/ К. Иосида. – М.: Мир, 1967.
4. Канторович, Л.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. – М.: Физматгиз, 1959.
5. Канторович, Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. – М.: Наука, 1974.



Комментарии:

Фамилия Имя Отчество:
Комментарий: