» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
 » Все публикации автора

Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Июль, 2022 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №7 (64) 2022

Автор: Макеев Николай Николаевич, Доктор физико-математических наук, профессорессор
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: К задаче об интеграле многомерного уравнения Лапласа

Статья просмотрена: 107 раз
Дата публикации: 27.06.2022

УДК 517.518.14

К ЗАДАЧЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ МНОГОМЕРНОГО

УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Макеев Николай Николаевич

пенсионер

Саратовская область, г. Саратов

 

Аннотация. Рассмотрена задача о нахождении регулярного решения уравнения Лапласа в        n-мерном евклидовом пространстве, представленного в автомодельной форме. Полученное аналитическое решение представлено в виде потенциалов скалярного поля для многомерных и трёхмерного случаев, определённых на гиперсфере с центром в начале системы декартовых координат. Интегралы уравнения Лапласа получены также в случаях двумерного и одномерного потенциалов с точностью до аддитивных постоянных интегрирования.

Ключевые слова: уравнение Лапласа; скалярный потенциал; автомодельный интеграл; гиперсфера.

 

В n-мерном евклидовом метрическом пространстве  или на его некотором открытом подмножестве введём открытую односвязную область D как открытое связное точечное множество. В этой области зададим функцию  а также оператор Лапласа

действующий в линейном пространстве гладких функций и ставящий в соответствии функции V функцию

                                                       (1)

Зададим в пространстве  расстояние

                                                          (2)

и пусть  − произвольные действительные постоянные параметры, связанные зависимостью

                                            (3)

Переменную z, определяемую зависимостью вида (3), называют        автомодельной переменной [1, 2]. Рассмотрим случай, при котором функция V, гармоническая в области D, представляется в форме

                                                        (4)

где функция

Ставится задача: найти функцию V, гармоническую в области D и такую, что для всех точек этой области выполняется условие (4).

Введём значения функций при фиксированном s = p  

                                       (5)

и, предполагая существование зависимостей (3), (4), в силу равенства (2)           вычислим при фиксированном значении s = p, согласно соотношениям (5), величины

                                              (6)

Из равенств (6) согласно определяющему соотношению (1) в обозначениях (5) непосредственно следует

                                                    (7)

Для суммы, содержащейся в равенстве (7), в силу второго слагаемого   выражения величины W2 (6) имеем

                                                          (8)

Обозначая величину

представим сумму, содержащуюся в равенстве (7), в силу первого слагаемого выражения величины W2 (6), применяя представления (2), (3), (5), в виде

                                               (9)

Согласно соотношениям (7)−(9) уравнение Лапласа в пространстве  принимает вид

                                        (10)

Рассмотрим интеграл уравнения Лапласа, определённый при ограничении  для которого

                                                          (11)

Принимая в уравнении (11) все параметры  за координаты точки  в прямоугольной декартовой системы координат пространства , находим, что эта точка расположена на гиперсфере радиуса ρ с центром в начале координат. При этом равенство (11) является уравнением этой гиперсферы, расположенной в области D, а интеграл (10) − автомодельным интегралом уравнения Лапласа

В случае сферы ненулевого радиуса в области D с исключённым началом координат уравнение (10) принимает вид

                                           (12)

Интегрируя уравнение (12) с ограничением, при котором в результате с точностью до аддитивной постоянной интегрирования получаем

                                       (13)

Если n = 3, то из уравнения (12) с той же точностью следует

                                                (14)

где С1, С2 − постоянные интегрирования.

Соотношения (13), (14) выражают политропический и логарифмический интегралы уравнения Лапласа, соответственно, и представляют автомодельную  форму одноимённых потенциалов соответствующих скалярных полей.

Таким образом, согласно зависимостям (3), (4), (13), (14) в результате получаем, соответственно

                                  (15)

                                    (16)

где функция  определяется равенством (3).

В особом случае, при котором ρ = 0, из соотношения (3) следует

откуда, согласно уравнению (10), получаем

                                               (17)

Полагая  из уравнения (17) согласно выражениям (4), (5) в результате находим

                                                 (18)

где − постоянные интегрирования. Функция (18), являющаяся линейным потенциалом, удовлетворяет n-мерному уравнению Лапласа.

Таким образом, функции (15), (16), (18), выражающие потенциалы скалярного поля в пространстве  составляют решение поставленной задачи о нахождении интегралов n-мерного уравнения Лапласа в автомодельной форме, определённых на гиперсфере с уравнением (11).

В тривиальных случаях, соответствующих частным значениям параметра  и  справедливо решение вида (15), в котором принимается, соответственно,  и   В частности, при  с точностью до аддитивной постоянной для функции линейного потенциала имеем

Примечание. Статья представляет формализованное обобщение аналогичной задачи, решённой для двумерного уравнения Лапласа; в этой задаче рассматривались свойства напряжённого состояния упругого твёрдого тела [3]. Идея нахождения регулярного аналитического интеграла уравнения Лапласа в многомерном евклидовом пространстве, имеющего симметрическую автомодельную форму, проистекает от характера задач динамики сплошных сред, где она традиционно и эффективно применяется [4]. Этот факт подтверждает универсальный характер применения данного аналитического аппарата, позволяющего результативно моделировать процессы в задачах механики.



Список литературы:

  1. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, ромежуточная асимптотика. Теория и приложения. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 256 с.
  2. Баренблатт Г.И. Автомодельные явления: анализ размерностей и скейлинг. Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2009. 216 с.
  3. Савин С.А. Об одном интеграле двумерного уравнения Лапласа // Прикладная математика и механика, 1951. Т. 15. Вып. 3. С. 392.
  4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 т. М.: Наука. Т. 1, 1970. 492 с.

 

Комментарии:

Фамилия Имя Отчество:
Комментарий: