» ГЛАВНАЯ >
К содержанию номера
» Все публикации автора
Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Октябрь, 2018 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №10 (19) 2018
Автор: Ведерников Сергей Иванович, нет
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления
Дата публикации: 10.10.2018
УДК 512.1
ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ
Ведерников Сергей Иванович
пенсионер
г.Москва
Аннотация. Великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения на целочисленные множители в уравнении при n > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений.
Ключевые слова: великая, теорема, Ферма, метод деления.
Теорема:
для целого натурального числа n
> 2 уравнение
+
=
не
имеет решений в целых положительных числах X,
Y,
Z.
Доказательство.
Имеется
,
где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа. Z > X >Y -
взаимно простые числа, n > 2.
Исходя
из того, что уравнение
является частным случаем уравнения
и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать,
что если уравнение
при n > 2 не имеет целочисленных множителей для
или
,
то оно не имеет решений в целых положительных числах.
Рассмотрим
порядок выделения множителей числа
и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки (5; 12; 13). [2]
Имеем:
Преобразуем
выражение:
↔
.
(1)
Разложим
ф. (1) на множители: Z + X =
↔13
+ 5 = 18; (2)
Z
– X =
↔13
– 5 = 8. (3)
Сложим почленно ф. (2) и ф. (3):
2∙Z
=
↔18
+ 8 = 26; откуда Z =
=
=
13. (4)
Вычтем
почленно ф. (3) из ф. (2): 2∙X =
↔18 – 8 = 10;
откуда:
X =
=
=
5. (5)
Из
ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае n = 2
уравнения
возможно
выделение целочисленных множителей
и целочисленных значений X и Z.
Произведём
разложение на множители в уравнении
при n>2. Есть общий случай и три частных, как дополнение к общему.
Посыл общий для всех случаев: чётное число, имеющее множителем
,
при n≥3, можно представить разностью квадратов двух нечётных
чисел.
Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X - нечётными числами, Y - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет. Доказательство невозможности чётного Z при нечётном n см. ниже Случай 3.
Рассмотрим «Общий случай» доказательства.
Имеем:
+
=
.
(1)
Возведём левую и правую части формулы в квадрат.
+ 2
+
=
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
=
+ 2
=
(2)
Разложим ф. (2) на множители.
+
=
+ 2
;
(3)
–
=
.
(4)
(Следует заметить,
что ф. (3) можно получить, прибавив 2
к левой и правой частям формулы (4)).
В соответствии с ф.
ф. (4) и (5) (См. ниже Случай 1) множители
и (
+ 2
)
формулы (2) не могут иметь общих множителей, кроме одного числа
2, исходя из условия о взаимно простых X,
Y,
Z
. Рассмотрим всё же этот момент отдельно.
Запишем ф. (3) и ф. (4) следующим образом:
=
Примем условно
где
целое нечётное число в степени n.
Итак:
(5)
(6)
Из почленного сложения ф. (5) и ф. (6) имеем:
2
или
(7)
Из почленного вычитания ф. (6) из ф. (5) имеем:
2
(8)
Из ф. ф. (7) и (8)
видно, что условия о взаимной простоте Z
и X
выполнимо только при отсутствии общих множителей в числах
и
Поэтому множители
этих чисел должны быть в степени n.
(Или целое
должно быть n
– ой степенью дробного числа.)
Рассмотрим этот момент на примере разложения на множители пифагоровой тройки (5; 12; 13), где Z = 13, X = 5, Y = 12.
Как показано в
Случае 1 (См. ниже после ф. ф. (2) и (3)) сумма и разность двух
нечётных чисел, числа чётные, но одно из них имеет множителем только
одно число 2, а другое – минимум
,
в общем же случае
Разложение формулы
при чётном n
выглядит так:
и
=
Для разности квадратов пифагоровой тройки (5; 12; 13) разложение такое.
Имеется:
(1а)
Преобразуем ф. (1а).
Разложим на множители ф. (2а).
Z
+ X
= 2
13 + 5 = 18; (3a)
Z
– X
=
Число 18 ф. (3а)
содержит только одно число 2, а число 8 ф. (4а) имеет вид
Следовательно, весь чётный сомножитель числа
составляет
Т. е. одно число 4 разделено пополам между числом 18 и числом
8.
Поделив 18 и 8
на 2, имеем
и 4 =
Это значит, что вторыми множителями чисел 18 и 8, кроме числа 2, являются квадраты чисел. Причём это свойство всех пифагоровых троек.
Рассмотрим ф. (5) как аналог ф. (3).
;
(3)
(5)
Нами условно
принято, что
является n
– ой степенью целого нечётного числа, в противном случае
уравнение (1) не имеет решения в целых числах. На анализе ф. (3а)
и ф. (4а) разложения пифагоровой тройки (5, 12, 13) можно
заключить, что сомножитель правой части ф. (2)
имеет в некоторых случаях, как и в уравнении
,
целочисленные значения
Следовательно,
можно предположить, что уравнение
может иметь целочисленные решения.
Однако перемножим левые и правые части ф. ф. (5) и (6).
–
= 2
= 2
(
).
(9)
Примем чётное,
имеющее множителем
,
где n
число
как
.
А любое чётное число, имеющее множитель
при n
> 2 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Запишем ф. (9)
следующим образом:
–
= 2
.
(10)
Поскольку числа
и
являются квадратами чисел
и
,
то в левой части имеется разность квадратов нечётных чисел, а в
правой – результат, который должен раскладываться на целые
множители в соответствии с левой частью.
Выразим число
разностью квадратов чисел A
и B.
=
–
.
Формула (10) примет вид:
–
= 2
(
–
)
= (2
– 2
).
Разложим на множители её левую и правую части.
(
–
)(
+
)
(
A
-
B)(
.
(11)
Как видно из ф.
(11) целочисленные значения её левой части не соответствуют
результатам разложения правой части, поскольку правую часть ф. (10)
невозможно разложить на целочисленные множители. Отсюда следует, что
уравнение
+
=
не имеет решения в целых числах при целочисленном
.
(См. формулу (10).)
Снова рассмотрим формулу (9).
Предположим, что
а тем самым и
не являются целыми числами.
По аналогии со
случаем
можно бы заключить, что уравнение
и тогда не имеет решений, но рассмотрим этот момент отдельно.
Запишем ф. (9) по-
другому, приняв
где k
- целое, нечётное число.
(9a)
Поскольку
можно выразить разностью квадратов, то запишем его как
Тогда ф. (9а) примет вид:
(9b)
Разложим правую
часть ф.(9b)
на множители.
(9c)
Из ф. (9с) следует,
что правую часть ф. (9а) невозможно разложить на целочисленные
множители и при целом
,
и при иррациональном, поскольку k
– нечётное число. Следовательно, уравнение
и в этом случае не имеет целочисленных решений.
Рассмотрим ф. (9а) в следующей позиции.
Имеем:
Выразим
при n
В данном случае
можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. Тогда
разложение ф. (9а) будет соответствовать ф. (9b)
и ф. (9с). Т. е. с отсутствием целочисленных решений.
При n = 2 ф. (9а) будет выглядеть так:
Выразим
разностью квадратов нечётных чисел.
Тогда ф. (9а)
будет такой:
Следовательно, уравнение
может иметь решения в целых числах.
Приведённое доказательство является приемлемым, для всех трёх частных случаев «Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления».
Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.
Случай 1. Z, X - нечётные, Y - чётное, n - чётное.
Имеется:
.
Преобразуем исходное уравнение:
.
(1)
Разложим
на множители ф. (1).
=
.
(2)
(3)
Хотя
абзац после ф.(5) разъясняет суть разложения на ф.(2) и ф. (3),
поясним всё же этот момент. Сумма двух нечётных чисел и разность этих
же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно
число 2, другое - множителем
,
а в общем случае
.
Разложение на множители
при чётном n = 2k соответствует ф.(2) и ф.(3), но имеются два случая:
когда
имеет множитель 2, а
множитель
,
и когда
имеет множитель
,
а
только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько,
но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга
рассмотренными в Случай 1. (См. ф. (6) и ф. (13)).
Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:
2∙=
;
=
;
(4)
а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:
2∙=
;
=
.
(5)
Из
ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X
необходимо, чтобы одно из чётных чисел
или
имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь
множителем
,
поскольку
-
число чётное и имеет множителем минимум одно число
.
При этом
и
не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2,
поскольку в противном случае такие множители должны иметь также
и
,
что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.
Поэтому
и
должны состоять из различных множителей числа
в той же степени, в степени n, если исходить из предположения, что
исходное уравнение имеет целочисленные решения.
Поскольку
из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел
или
должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в
степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:
=
2
;
(6)
=
∙
;
(7) имея в виду, что
- число нечётное.
Из
ф. ф. (4) и (5) выразим значение
и
,
подставив вместо
значение 2∙
,
а вместо
значение
∙
.
=
=
+
∙
;
(8)
=
=
.
(9)
Поскольку
является степенью числа X при чётном n ≥ 4, то его можно
разложить на множители. Разложим выражение (9) на
множители по формуле для разности n–х степеней.
= (
-
∙
)∙(
+ ⋯ +
∙
).
(10)
Очевидно,
что
невозможно разложить на целочисленные множители по формуле разности n
- х степеней.
Рассмотрим
ф. (6) и ф. (7), которые удовлетворяют разложению на множители
разности квадратов двух чисел при чётном n
> 3.
–
=
.
– чётное.
(6)
- нечётное.
(7)
Нужно
заметить, что разложение на множители формулы
,
соответствующее «пифагоровым тройкам», где
- чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только
одно число 2, а другой множитель кратен числу 8, при этом чётное
число этих троек кратно именно числу 4.
Рассмотрим разложение на множители ф. (7) при показателе n кратном 4 для иллюстрации «Общего случая доказательства».
Формула
(7), на первый взгляд, тоже может удовлетворять условию кратности
числу 8, однако преобразуем её правую часть. Преобразуем
следующим образом:
=
=
.
Выразим
разностью квадратов двух нечётных чисел, поскольку чётное число,
имеющее множителем
при n > 2 , можно хотя бы один раз представить такой разностью,
где первый множитель разложения разности квадратов, имеет только
один множитель 2, а второй – множитель
.
Пусть:
=
.
Тогда:
=
=
. (11)
Разложим ф. (11) на множители:
.
(12)
=
(
–
)(
+
)
(
-
)(
+
),
(12a)
Из
ф .ф. (12) и (12а) можно сделать вывод, что ф. (7), а также
уравнение
при чётном n, кратном 4, не имеет решения в целых числах.
Допустим:
;
(13)
.
(14)
Очевидно,
что ф. (14) не имеет целочисленных решений при n
кратных 4, поскольку левая часть уравнения имеет множителем минимум
,
а правая только 2 при нечётном
.
Доказано,
что корень k из целого числа является рациональным числом только
тогда, когда число под корнем является k - ой степенью другого целого
числа, в остальных случаях такой корень иррациональное число. [3]
Поэтому
-
число иррациональное, поскольку другим, меньшим
,
может быть только 1.
Следовательно,
опираясь на ф. (10), ф. (16) и результаты разложения правых частей ф.
(7) и ф.(13), можно заключить, что
невозможно разложить на целочисленные множители, и уравнение
при чётном n > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
При
этом особо нужно отметить, что для
при нечётном
=
2k+1, характерен следующий ряд показателей:
;
, где первый показатель -
соответствует уравнению
при
= √
=
√1 = 1, что делает возможным его целочисленные решения при
невозможности таковых для остального ряда показателей.
Случай
2. Z; X - нечётные, Y - чётное, n - нечётное. Имеем:
Возведём
левую и правую часть исходной формулы в квадрат.
.
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
.
(1)
Разложим ф. (1) на множители.
;
(2)
.
(3)
- чётное число,
поэтому выразим его как
.
Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:
;
.
Примем
в виде
,
при нечётном
,
поскольку целое положительное число можно выразить n - ой степенью
другого положительного числа.
Итак, имеем:
+
;
(4)
.
(5)
( См. Общий случай для ф.ф. (4) и (5).)
Сложим почленно ф. ф. (4) и (5).
Откуда:
,
или
.
(6)
Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).
.
.
(7)
Из
ф. ф. (6) и (7) видно, что
и
не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной
простоте Z,X,Y; а ф. (6) и ф. (7), т. е.
и
можно разложить на множители по формулам разложения на множители
разности n-х и суммы n-х степеней при нечётном n=2k+1.
Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).
;
(8)
-
(9)
Итак,
нельзя разложить на целочисленные множители, а значит уравнение
не имеет решений в целых положительных числах при нечётном n≥3.
Случай 3.
X>Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
Кроме
известного доказательства, что Z в уравнении
не может быть чётным числом при чётном n, заключающемся в неравенстве
суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа,
возможно ещё одно доказательство этого случая.
Имеется:
.
(1)
Вычтем
из левой и правой частей уравнения (1) 2∙.
;
где
;
с
нечётным
= a.
Тогда:
= 2∙a. (2)
Поскольку
n чётное по условию, то
можно разложить, как разность квадратов. Пусть
,
а
,
поскольку X и Y нечётные числа.
Тогда:
=
2∙b∙2∙c = 4∙b∙c. (3)
Сравним ф. (2) и ф. (3).
2∙a=4∙b∙c; или a≠2∙b∙c, т. к. a - нечётное число.
Итак:
доказано, что Z в уравнении
не может быть чётным числом при чётном n≥4 и целочисленных
решениях уравнения.
Рассмотрим доказательство невозможности чётного Z при нечётном n.
X > Y - нечётные, Z - чётное, n - нечётное.
Преобразуем
уравнение
,
вычтя из левой и правой его частей 2∙
.
Имеем:
.
(4)
Отметим,
что ()
- нечётное число.
Примем
.
Тогда ф.(4) примет вид:
.
(5)
Представим
уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разности
квадратов
и
:
(
2
.
(6) (См. Общий случай.)
Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:
2∙.
Выразим
.
Тогда:
=
=
;
(7)
;
=
=
=
.
(8)
Разложим ф. (7) по формуле разложения на множители суммы n – х степеней при нечётном n.
(9)
Разложим
ф. (8) на множители по формуле размножения на множители разности n-х
степеней, имея в виду, что
нечётное число.
(10)
Из
ф.ф. (9) и (10) следует, что разложение
и
на целочисленные множители невозможно, а значит Z не может быть
чётным числом в уравнении (1), поскольку уравнение не имеет
целочисленных решений.
Общий
вывод: для рационального числа n≥3 уравнение
не имеет решений в целых положительных числах X,Y,Z.
Список литературы:
- Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦИМО, 2000 г.
- Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959 г.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебное пособие. М.: Высшая школа, 1984 г.
Комментарии: