» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
» Все публикации автора
Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Апрель, 2022 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №4 (61) 2022
Автор: Пинигина Анастасия Валерьевна, Студент
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Методические особенности графического метода решения семейства кривых с параметром в ЕГЭ
Дата публикации: 11.04.2022
УДК
517.518.837
МЕТОДИЧЕСКИЕ
ОСОБЕННОСТИ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ С ПАРАМЕТРОМ В ЕГЭ
Пинигина
Анастасия Валерьевна
студентка 5 курса
факультета математики,
информатики и
естественных наук
Павлова
Татьяна Вениаминовна
научный руководитель
Ишимский педагогический
институт имени П.П. Ершова (филиал) ФГБОУ ВО «Тюменский государственный
университет», г. Ишим
Аннотация. В статье
описан графический метод решения задач с параметрами на основе типовых примеров
из ЕГЭ. Методика решения семейства кривых основывается на
функционально-графическом методе. Рассматриваются разборы решений с параметром с
применением элементарных преобразований графиков функций.
Ключевые
слова: задачи с параметрами, функционально-графический метод,
преобразование графиков, построение графиков, семейство кривых.
Решение
уравнений, неравенств и их систем с параметрами считается одной из сложнейших
тем математики. В основном эта проблема связана с тем, что в школах стандартные
уравнения и неравенства приучают решать, следуя соответствующему алгоритму. Задачи
с параметром имеют свой подход, здесь необходимо использовать элементы
исследования. Графический метод решения уравнений, неравенств и их систем с
параметрами более нагляден, по сравнению с аналитическим, но требует определенных
умений: необходимо владеть набором элементарных преобразований графиков функций
(сжатие или растяжение, симметрия относительно осей, сдвиги вдоль координатных осей,
графики с модулем и т.п.); выполнять необходимые дополнительные построения,
исследовать поведение семейства кривых в
зависимости от значения параметра. Задачи с параметром традиционно включают в
ЕГЭ по математике профильного уровня (задание 18) и относятся к заданиям
максимально высокого уровня сложности [1].
Рассмотрим
далее некоторые графические приемы решений задач с параметрами. В зависимости
от роли параметра, выделяют два основных графических приема:
1)
построение графического образа на координатной плоскости (x;y);
2)
построение на координатной плоскости (x;a)
[4,
с. 97-99].
Далее
для полного понимания приведем следующее понятие:
«Совокупность
всех кривых, определяемых уравнением Ф(x,y,C)=0 (1), называют семейством кривых с одним параметром –
однопараметрическое семейство, а уравнение (1) уравнением этого семейства
кривых…» [5, с. 103].
Разберем
первый прием. Исходное выражение преобразуют к виду (1). На плоскости (x;y) строим график функции
. А функция
задает конкретное семейство кривых, которое
зависит от параметра a. Кривые данного
семейства получают из кривой (**) с помощью набора элементарных преобразований,
которые описаны выше. Когда будет построен графический образ (1), то возможно
установить, сколько точек пересечения имеют графики функций (*) и (**). Данное
утверждение определяет количество корней выражения (1), а также исходного
выражения, в зависимости от значения параметра.
Разбирая
второй прием, исходное выражение преобразуют к виду . На плоскости (x;a) строят график функции f(x) и потом пересекают данное построение прямыми,
которое будут параллельны оси абсцисс. Таким образом, получают нужную
информацию [7, с. 55-56].
Далее
рассмотрим, с помощью каких преобразований плоскости можно использовать для
перехода к другим кривым семейства.
Перейдем
непосредственно для начала к части решений уравнений и неравенств с параметрами
для линейных функций. Заметим, что: «… уравнение первой степени общего вида с
переменной x является частным случаем линейного
уравнения с одной переменной…» [2, с. 16].
1. Параллельный перенос
Пример 1.
Найдите
все значения а, при каждом из которых
решения неравенства .
Решение:
Перенесем
единицу в правую часть неравенства:
.
После
этого построим схемы графиков функций:
Можем
заметить, что данные функции являются прямыми, но с модулями. Другими словами,
отрицательная часть изображается симметрично относительно оси ординат как
показано на рисунке 1. Но перед этим преобразованием предшествует, сдвиги
вправо на несколько единиц и втрое уравнение сдвигается вниз на единицу.
Рис.1
Из
рисунка видно, что неравенство имеет решения только . Составим две системы неравенств:
1)
Тогда
решения образуют отрезок то a=3.
2)
Тогда
решения образуют отрезок то a=9.
Ответ: a=3; a=9.
2. Поворот
Стоит
заметить, что выбор семейства кривых не является однотипным. Но сами задачи
наоборот. Во всех задачах присутствуют прямые (**) и к тому же играют роль
центра поворота. Остановимся на семействе кривых вида
, где (x0; y0) – центр поворота [6].
Пример 2. Определите, при каких
значениях параметра a
минимум функции больше -4.
Решение:
Определим,
при каких значениях переменной x
параметра
a
неравенство
выполнятся при всех x. На
рисунке 2 изображен график функции
. Итак, все прямые
семейства
проходят через точку (0;-4). Т.е. данная точка
задает центр поворота данных прямых. По определению прямой положим, что k=-a, тогда правая часть
неравенства будет выглядеть: -4+kx.
Обратимся
снова к рисунку 2 и видим, что в левой части неравенства изображена парабола, с
отраженной частью, так как выражение стоит под знаком модуля. А в правой части
неравенства будет прямая с угловым коэффициентом.
Рис.2
Меньшее
значение параметра будет соответствовать касанию прямой с пересечением параболы
с осью ординат (). Тогда будем иметь
значение параметра a=-8.
Найдем
точки касания данных функций. Так как правые части уравнений равны, то будут
равны и левые: -4+kx=2x2-3x+1. После чего преобразуем
данное выражение и вычислим дискриминант:
2x2-(k+3)x+5 =
0
D = (-(k+3))2 + 4*2*5 = k2+6k-40
Найдем
значения k полученного выражения: k2+6k-40=0.
D = 62
- 4*1*(-40) = 36 + 160 = 196
k1
= 4; k2 = 10
4 <
k < 10 => -10 < a < -4
Ответ: -10
< a < -4.
3. Гомотетия. Сжатие к прямой
Вспомним,
что при гомотетии расстояние между точками не сохраняется, то есть подобные
фигуры имеют равные углы. Таким образом, далее мы рассмотрим семейство кривых,
которые будут получаться друг из друга с помощью гомотетии. Примером гомотетии
может являться уравнение окружности, т.е. [6].
Пример 3. Изобразите графики
уравнений
и
при значениях параметра a = 1;2,5;3.
Решение:
Для
начала построим график уравнения .
Очевидно, что значение параметра не должно быть отрицательно и данное уравнение
задает квадрат. Иначе данное выражение не будет иметь смысла. Изобразим на
графике данное выражение (Рис. 3):
Графиком
второго уравнения будет являться окружность. Радиус данной
фигуры будет являться параметр a с центром в точке (0;0).
Данные
уравнения задают два семейства кривых. Каждый из них являются гомотетичными с
центром начала координат. Из рисунков видно, что данные графики уравнений
увеличиваются при значениях параметра a для
квадратов и окружностей.
Рис.3
Стоит
учесть, что при решении графическим методом лучше всего подкрепить свой ответ
аналитическим способом. Это не только зафиксирует правоту выбранного решения,
но и даст дополнительные баллы на экзамене. Таким образом, это докажет, что
ученик в полной мере может разумно обосновать свои мысли.
Выделим
следующие плюсы графического представления уравнения или системы уравнений с
параметром:
- Построенный график дает определить, как влияет изменение параметра на решение уравнения;
- В некоторых случаях график позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
- На основании графика возможно строить вполне строгие и обоснованные умозаключения о количестве корней уравнения и т.д.
Добавим,
что для решения задач с параметрами выделяют мало часов на занятиях алгебры.
Поэтому необходимо вводить элективные курсы или давать больше времени на
факультативных занятиях, применяя функционально-графический метод при решении
задач с параметрами для качественной подготовки учащихся. Таким образом, дети
будут иметь навыки по построению, преобразованию графиков уравнений для решения
задач с параметрами, которые раньше казались им нерешаемыми.
Список литературы:
- Алексеевская А.А. Функционально-графический метод решения уравнений с параметрами в итоговой аттестации // Актуальные проблемы модернизации математического и естественно-научного образования: Сборник научных трудов по материалам Всероссийской научно-методической конференции (г. Балашов, 15 мая 2020 г.). – Саратов : Саратовский источник, 2020. – С. 19-23.
- Беляева Э.С. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч. 1: учебное пособие. – Москва: Дрофа, 2009. – 480 с.
- Беляева Э.С. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч. 2: учебное пособие. – Москва: Дрофа, 2009. – 444 с.
- Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – Москва: Илекса, 2005. – 328 с.
- Литвинов А.И. Методическое пособие к практическим занятиям. – Москва: МТУ, 2013. – 103 с.
- Погорелов А.В. Геометрия 7-9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. – Москва: Просвещение, 2014. – 240 с.
- Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. – Москва : МИЭТ, 2004. – 258 с.
Комментарии: