» ГЛАВНАЯ > К содержанию номера
» Все публикации автора
Журнал научных публикаций
«Наука через призму времени»

Май, 2021 / Международный научный журнал
«Наука через призму времени» №5 (50) 2021
Автор: Ибрагимова Феруза, 3 курс Математика
Рубрика: Физико-математические науки
Название статьи: Линейные нормированные пространства
Дата публикации: 12.05.2021
ЛИНЕЙНЫЕ
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Ибрагимова
ФерузаАхметовна
студент 3 курса
ФГБОУ ВО
«Калмыцкий государственный университет им. Б.Б.Городовикова»,
г. Элиста
Аннотация.
В данной статье изучены основные линейные нормированные пространства. Рассмотрены
основные понятия и аксиомы метрики.
Примеры линейных нормированных пространств.
Ключевые
слова: линейные нормированные пространства, аксиомы
метрики.
Определение:Линейное
пространство
Элементы линейного нормированного
пространства Е будем называть точками.
Покажем, что любое линейные нормированные пространства Е можно превратить в
метрическое пространство , если расстояние (метрику) между любыми двумя точками
Действительно, проверим выполнение аксиом метрики для
метрики (1)
а) пусть
б)
в)
Аксиомы метрики выполняются,
следовательно, формула (1) действительно задает в л. н. п. Е расстояние между
точками х и у.
Если у =
Таким
образом, нормированное пространство есть частный случай метрического
пространства.
Все
понятия и факты, изложенные в
предыдущей главе для метрических
пространств переносятся на нормированные пространства. Будем считать ,
что определения сходимости (по метрике),
замкнутых и открытых множеств и другие определения связаны с метрикой
Определение: Будем говорить, что норма
Определение: Будем говорить, что две
нормы
эквивалентны, если существуют числа α, β > 0 такие, что
неравенство
Если применить общее определение сходимости
( по метрике) в метрическом пространстве к нормированному пространству, то
получим следующее определение сходимости ( по норме) в нормированном
пространстве.
Определение:Говорят,
что бесконечная последовательность точек
Отметим, чтонорма
Определение:
Бесконечная последовательность точек
Определение:
Линейные нормированные пространства Е
называется полным пространством, если в нём сходится (по норме) любая фундаментальная последовательность.То
есть, из того, что
такой, что
Определение: Полное линейное
нормированное пространство называется банаховым
пространством.
Примеры линейных нормированных
пространств
1.
Множество R всех действительных чисел х
является линейным нормированным пространством
Проверим
выполнение аксиом нормы
I.
II.
III.
Проверим неравенство треугольника
Аксиомы нормы выполняются, следовательно,
в пространстве
2. Рассмотрим действительное n – мерное пространство
Если
же норму
Или
по формуле
3.
Рассмотрим пространство вещественнозначных (или комплекснозначных)
функций, непрерывных на заданном отрезке
[a,
b].
Норму
Получим линейное нормированное пространство
Если
же норму функции
то
получим линейное нормированное пространство
4.Пространство
m
бесконечных ограниченных числовых последовательностей
5.Пространство
6. В пространстве функций, непрерывных на
отрезке [a,
b]
и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до k – го порядка включительно, норму
функции f(t) можно вычислять по формуле:
получим
линейное нормированное пространство
Список литературы:
- Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ/ Б.З. Вулих. – М.: Физматгиз, 1958
- Городецкий, В.В. Методы решения задач по функциональному анализу/ В.В. Городецкий, Н.И. Нагнибида, П.П. Настасиев. – К.: Выщашк., 1990.
- Иосида, К. Функциональный анализ/ К. Иосида. – М.: Мир, 1967.
- Канторович, Л.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. – М.: Физматгиз, 1959.
- Канторович, Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. – М.: Наука, 1974.
Комментарии: